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1、高数下册讲义(新)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：目录第七章微分方程………………………………………………………1第八章向量代数与空间解析几何……………………………………24第九章多元函数微分法及其应用……………………………………56第十章重积分…………………………………………………………94第十一章曲线积分和曲面积分…………………………………………113第十二章无穷级数………………………………………………………143第七章微分方程§7.1微分方程的基本概念函数是客观事物的内
2、部联系在数量方面的反映,利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系,在实践中具有重要意义.在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系就是所谓微分方程.微分方程建立以后,对它进行研究,找出未知函数来,这就是解微分方程.例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.解设所求曲线的方程为y=y(x).根据导数的几何意义,可知未知函数y=y(x)应满足关系式(称为微分方程).(1)此外,未知函数y=y(x)还应满足下列条
3、件:x=1时,y=2,简记为y
4、x=1=2.(2)把(1)式两端积分,得(称为微分方程的通解),即y=x2+C,(3)其中C是任意常数.把条件“x=1时,y=2”代入(3)式,得：2=12+C,由此定出C=1.把C=1代入(3)式,得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y
5、x=1=2的解):y=x2+1.例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶;当制动时列车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米.根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式.(
6、4)此外,未知函数s=s(t)还应满足下列条件:t=0时,s=0,.简记为s
7、t=0=0,s¢
8、t=0=20.(5)把(4)式两端积分一次,得;(6)再积分一次,得s=-0.2t2+C1t+C2,(7)这里C1,C2都是任意常数.把条件v
9、t=0=20代入(6)得：20=C1;把条件s
10、t=0=0代入(7)得0=C2.把C1,C2的值代入(6)及(7)式得v=-0.4t+20,(8)s=-0.2t2+20t.(9)在(8)式中令v=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间(s).再把t=50代入(9),得到列车在制动阶段行驶的路程s=-0.2´502+20´50=500(m).
11、几个概念:微分方程:表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫微分方程.常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶.x3y¢¢¢+x2y¢¢-4xy¢=3x2,y(4)-4y¢¢¢+10y¢¢-12y¢+5y=sin2x,y(n)+1=0,一般n阶微分方程:F(x,y,y¢,×××,y(n))=0.y(n)=f(x,y,y¢,×××,y(n-1)).微分方程的解:满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫
12、做该微分方程的解.确切地说,设函数y=j(x)在区间I上有n阶连续导数,如果在区间I上,F[x,j(x),j¢(x),×××,j(n)(x)]=0,那么函数y=j(x)就叫做微分方程F(x,y,y¢,×××,y(n))=0在区间I上的解.通解:如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.初始条件:用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.如x=x0时,y=y0,y¢=y¢0.一般写成,.特解:确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解.即不含任意常数的解.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分
13、方程y¢=f(x,y)满足初始条件的解的问题,记为.积分曲线:微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线.例3验证:函数x=C1coskt+C2sinkt是微分方程的解.解求所给函数的导数:,.将及x的表达式代入所给方程,得-k2(C1coskt+C2sinkt)+k2(C1coskt+C2sinkt)º0.这表明函数x=C1coskt+C2sinkt满足方程,因此所给函数是所给方程的解.例4已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k¹0)是微分方程的通解,求满足初
