数学归纳法上课说课材料.ppt

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1、数学归纳法问题情境已知数列的通项公式为（1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？解：猜想该数列的通项公式还可以写为（2）你的猜想一定是正确的吗？解：所以猜想不正确！?本题有没有行之有效,步骤有限的方法呢?下面我们看看下列的情景对我们解决本题证明有什么启示？问题情景你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏一下那场景!1、第一块骨牌倒下2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下这与我们要解决的问题有相似性吗？请同学们思考所有的骨牌都一一倒下

2、只需满足哪几个条件多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题有相似性吗？多米诺骨牌游戏原理（1）第一块骨牌倒下。（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时，猜想成立根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。通项公式为的证明方法（2）若当n=k时猜想成立，即，则当n=k+1时猜想也成立，即。对于数列｛　｝，已知　　　，写出数列前4项,并猜想其通项公式;同学们,你能验证你的猜想是不是正确的呢?证明:(1)当猜想成立。(2)那么,当解:

3、猜想数列的通项公式为1nan=根据(1)和(2)，猜想对于任何都成立。对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。归纳法｛完全归纳法不完全归纳法由特殊一般特点:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3d……an=a1+(n-1)d二、数学归纳法的概念：证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题

4、对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。证明：（1）当n=1时，左边=12=1右边=1等式成立(2)假设当n=k时等式成立,即那么,当n=k+1时即当n=k+1等式也成立根据(1)和(2),可知等式对任何都成立.凑出目标用到假设例用数学归纳法证明所以n=k+1时结论也成立那么求证注意1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准

5、n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。②假设n=k(k∈N,k≥1)时等式成立,即：1+3+5+……+(2k-1)=k2，当n=k+1时：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以当n=k+1时等式也成立。由①和②可知，对n∈N，原等式都成立。例、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2（n∈N）.请问：

6、第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?为什么？证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。注意1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2

7、(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明小结练习:用数学归纳法证明错误！错误原因：没有第一步n=1等式成立的证明其实n=1等式并不成立，左边=1，右边=2试判断下列用数学归纳法证明过程是否正确那么，当n=k+1时即当n=k+1时等式也成立可知等式对任何都成立.那么，当n=k+1时－证明:(1)当n=1时,左边=20=1,右边=21－1=1等式成立（2）假设n=k时，等式成立，即－即当n=k+1

8、时等式也成立根据(1)和(2),可知等式对任何都成立.错误原因：由证明n=k+1等式成立时没有用到n=k命题成立的归纳假设错误！小结：一种方法：一种用来证明某些“与正整数n有关的命题”的方法—数学归纳法二个注意：1、“二步一结论”缺一不可。2、第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”时一定要用到归纳假设思考