立体图形与路径最短问题课件.ppt

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1、立体图形与路径最短问题商丘市第十三中学赵来福BA问题情境一在棱长为1的立方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从立方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？它有几种爬行方法？（注：每一个面均能爬行）知识准备1、什么是线段公理？两点之间，线段最短2、勾股定理在Rt△ABC中，两直角边为a、b,斜边为c，则a2+b2=c2.思维点拨1、在立体图形中，怎样利用线段公理解决路径最短问题？2、怎样展开立方体的表面？展开哪几个面呢？3、和A相连的面有哪几个？和B相连的面有哪几个？4、最短路径要走几个面

2、？怎么走？BA前面右面上面后面左面下面标注六个表面思维方法和过程A点前面左面下面上面右面后面B点从A到B走最短路径要走几个面？①前面和右面；②前面和上面；③左面和上面；④左面和后面；⑤下面和右面；⑥下面和后面.AB1前面右面B方法一1、展开前面和右面2、连接AB1则AB1为最短路径由勾股定理得AB1=AB2B前面上面方法二2、连接AB2则AB2为最短路径AB2=1、展开前面和上面由勾股定理得左面上面A1B3方法三2、连接A1B3则A1B3为最短路径A1B3=1、展开前面和上面由勾股定理得方法四2、连接AB4则AB

3、4为最短路径AB4=1、展开左面和后面由勾股定理得AB4方法五2、连接AB5则AB5为最短路径AB5=1、展开下面和右面由勾股定理得AB5方法六2、连接AB6则AB6为最短路径AB6=1、展开下面和后面由勾股定理得AB6总结从A到B共有六种最短路径最短路径为BAAB问题情境二在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？AB问题解决从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.最短路径：在底面半径为1、

4、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面如图迂回爬行去吃左上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？AB问题情境三AB问题解决从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.最短路径：AB问题情境四在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？思维分析1、问题四和问题二的区别在哪儿？问题二指明在侧面爬行；问题四没有说明.2、问题四没有指明侧面会发生什么变化？可能出现2种情况：①在侧面爬行②沿A向

5、上再沿上底面直径爬行到BAB情况一解决从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.最短路径：情况二解决ABB如图，展开上底面，沿AB爬行是此种情况的最短路径.最短路径为：4比较选择最短路径两个最短路径和4哪一个最小呢？比较大小：因此最短路径为侧面爬行的是否所有的情况下都是侧面爬行路径最短吗？高和底面半径换一些数据试一试.AB延伸问题五在底面半径为r、高为h的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？AB情况一从A点向上剪开，则侧面展开

6、图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.最短路径：情况二解决ABB如图，展开上底面，沿AB爬行是此种情况的最短路径.最短路径为：h+2r比较与总结比较和h+2r的大小=h+2r543AB在长为5、宽为3、高为4的长方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从长方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？问题情境六思维分析1、长方体和立方体的情况一样吗？它们有什么相同和不同点呢？和A相连的面是左面、前面和下面；和B相连的面是上面、右面和后面.共有六种不同的选择路径这六种不同选择的路径大小相同

7、吗？思维方法和过程A点前面左面下面上面右面后面B点543AB543ABB情况一展开前面和右面，连接AB，此时路径最短.543ABB情况二展开前面和上面，连接AB，此时路径最短.543ABBA情况三展开左面和上面，连接AB，此时路径最短.比较和总结比较三种情况的最短路径且另三种情况与上述三种情况结果分别相同因此爬行的最短路径为ABC问题情境七如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?ABCB’思维分析圆锥的侧面展开图如图所示，连接

8、BB‘，则BB’为蚂蚁爬行的最短路径.ABC41B’解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’,∠BAB’=n°∴△ABB’是直角三角形解得:n=90∵圆锥底面半径为1,母线长为4连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线∴2π=4nπ180问题解决∴BB’=答:蚂蚁爬行的最短路线为.如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截