《最短路径问题》PPT课件

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1、八年级上册13.4课题学习最短路径问题1如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间,线段最短①②③2将军饮马问题：两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。3P两点之间线段最短.根据：BA(一)两点在一条直线两侧例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到

2、小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？最短路线：将军饮马：A---P---B.4例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？AB河两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：5追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al6探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小（如图）．

3、BAlC7作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C8探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C9例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？两点在一条直线同侧(一)一次轴对称：10例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？(二)二

4、次轴对称：一点在两相交直线内部11例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。（三）二次轴对称：两点在两相交直线内部12ABA/B/PQ最短路线：APQBlMN13例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部14......AA'BB'CDMON例4变式：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部15两点在一条河两侧例5.

5、如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使将军从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA(五)造桥选址问题16思维分析BA1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？17我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花各抒己见1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平

6、移到和B相连.18上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.合作与交流1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?19问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1

7、+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN20问题延伸如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）21思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处22思维方法沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１　

8、点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥M