杨辉三角学习资料.docx

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1、二项式定理(a+b)n(其中：n≥0)与杨辉三角(n=0对应最上面第一行)注：(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项的数字。二项式(a+b)n的乘方展开式的系数规律(其中：n≥0)【二项式定理】杨辉三角图(n=0对应的最上面一行称为第1行)1首末两项系数均为1，第二项与倒数第二项系数均是n，第m项与倒数第m项(即n-m+1项)系数均相等（系数关于中间项系数对称）每行端点与结尾的数为1.C(n，m)=C(n，n-m)=C(n-1，m-1)+C(n-1，m)2n次方展开式中共有n+1项第n行共有n项，数字和为2n-13n次方展开式中，笫m项的系数等于n

2、-1次方展开式中第m-1项和第m项系数和每个数等于它上一行的左右两个数字之和：第n行中，笫m项的系数等于第n-1行展开式中第m-1项和第m项系数和C(n,i)=C(n-1，i-1)+C(n-1，i)第n行的第一列数字是1第n行的第二列数字是n-1第n行中，笫3列的系数等于1+2+3+…+(n-1)-1第n行中，笫m列的系数等于第n-1,n-2,n-3,….1行的第m-1列的数字之和C(n,i)=C(n-1，i-1)+C(n-1，i)=C(n-1，i-1)+C(n-2，i-1)+C(n-2，i)=…=C(n-1，i-1)+C(n-2，i-1)+C(n-2，i)+4将第2n+1行第1个数

3、，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。5将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方11n-1：1=110;11=111;121=112……当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位......，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,

4、252,210,120,45,10,1，结果为=1110。6第n行的m个数可表示为C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数7(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项1.每个数等于它上方两数之和(第n行的第m个数数等于第n-1行的第m-1和第m个的两数之和。2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。3.第n行的数字有n项。4.第n行数字和为2n-1。5.第n行的m个数可表示为C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。6.第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，为组合数性质之一。7.每个数字等于上一行

5、的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。8.(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。9.将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。10.杨辉三角应用性质5和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。与杨

6、辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数（性质8），第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，即，以此类推。又因为性质5：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”[3] 。杨辉三角数在杨辉

7、三角中的出现次数由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1,2,2,2,3,2,2,2,4,2,2,2,2,4,...（OEIS:A）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2,3,6,10,120,120,3003,3003,...（OEIS:A）除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。（OEIS:A）因为丢