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《《杨辉三角》导学案2.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《杨辉三角》导学案2【课标要求】1.了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题.2.了解二项式系数的性质并能简单应用.3.掌握“赋值法”并会灵活应用.【核心扫描】1.杨辉三角的特点.(难点)2.二项式系数性质的应用.(重点)3.“赋值法”的应用.(易错点)自学导引1.杨辉三角的特点(1)在同一行中每彳T两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，—即以+1=土土G想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示不是.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数.实际上项式系数表中
2、的第n行与杨辉三角中的第n+1行对应数值相等.2.二项式系数的性质对称性在(a+b)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即cm=cn-m__增减性与最大值n+1n+1增减性：当kvn2」时，二项式系数是逐渐增大的；当k>n2」时，二项式系数是逐渐减小的.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cnn最大，当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn2」n,屋尹n相等，且同时取得最大值各二项式系数的和①C0+C1+C2+…+Cn=2n,②C0+C2+Cn+i=Cn+C3+C5+…=2n_1试一试：令f(k)=d,k€{0,1,2,…，n},则直线k=n将函数f
3、(k)的图象分成对称的两部分，即直线k=n是图象的对称轴，由此我们得到结论：当k=n时，Ck最大，这个结论正确吗?提示不正确.当n是偶数时，Cn最大；当n是奇数时，Cn^21n=n最大.名师点睛1.对二项式系数性质的深层理解（1）对称性：源于组合数的性质“cm=CTm',基础是c0=cn=i,然后从左右向中间靠拢,便有cn=cn1,c2=cn2,…（2）最大值：①当n是偶数时，（a+b）n的展开式共n+1项，n+1是奇数，这时展开式的形式是前2项第,+1项后万项中间一项是第n+1项，它的二项式系数是c2n,它是所有二项式系数中的最大值；②当n是奇数时，（a+b）n的展开式
4、共有n+1项，n+1是偶数，这时展开式的形式是»n—1E生n+1^^n+3^_n-1_刖一2一项第一万一项第一万一项后"2-项n+1n+3n—1n+1中间两项是第一2一，一2一项，它们的二项式系数是c-2-n>c-2-n,这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值.（3）各二项式系数和：c0+cn+cn+---+4=2“源于（2+3n=6^+6^-%+-一+cnbn中令a=1,b=1,即得到G0+Gn+c2+---+cn=2n.2.赋值法的应用求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，如：求（a+x）n=a0+a[x+a2X2+…+anXn展开式中各项系数和，
5、可令x=1,即得各项系数和a0+a1+a2+…+an.若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x=-1,x=1,两等式相加减即可求出结果.题型一与杨辉三角有关的问题【例1】12^-41V3/IAI中。/IO5L如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1.5.5.5.5.5.5.5,…，记其前n项和为S,求§9的值.［思路探索］本题关键是观察数列的特征，数列的每一项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式的二项式系数，再利用组合数求解.解由图知，数列中的首项是d,第2项是C2,第3项是C2,第4项是C3,…，第17项是C10
6、,第18项是C10,第19项是C11.S(9=(C2+c2)+(C3+c3)+(C4+c4)+…+(C10+C10)+C11=(C2+G+C4+…+C10)+(C2+，-2+10X93pC3+…+01)=2+02=274.［规律方法］解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解.注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.【变式1】如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第行中从左到右第14与第15个数的比为2:3.第0行1第1行11第2行121第
7、3行1331第4行14641第5行15101051解析设第n行从左至右第14与第15个数之比为2：3,则Cn3：C丁=2：3.3c13—2c14即iL^2-^J一3。—2°，即13!
8、n-[3!—14!
9、n-14-得:32n-13-14n=34.答案34题型二二项展开式的系数和问题【例2】已知(1—2X)7=20+2*+22*2+~+27*7,求下列各式的值.(1)a[+a2+…+a?;(2)a1+23+25+a?;(3)a0+a2+a4+a6；(4)
10、ao
11、+
12、ai
13、+
14、a2
15、+…+
16、a?
17、-［思路探索］本题主要考查二项式系
