对杨辉三角的研究讲解学习.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流对杨辉三角的研究看似数学是无聊的，无非是一列列数字，一个个几何，一道道习题，其实只要善于发现，善于发掘，数学中蕴含了无数优美的规律和神秘的排列，例如“杨辉三角”。什么是杨辉三角杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。杨辉三角的历史北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。在欧洲直

2、到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。=====================================================================1）初步认识杨辉三角二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．2）杨辉三角所蕴含的数量关系（用Excel制作的杨辉三角的另一表现形式）==================================================================

3、===仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8精品好文档，推荐学习交流1）二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。  杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)^2的展开式来探讨。由上式得出： (a+b)^2＝a^2+2ab+b^2  此代数式的系数为： 1  2  1 则(a+b)^3的展开式是什么呢？答案为：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3  由此可发现，此代数的系数为： 1  3  3  1  但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)^4的展开式。      展开式为：a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^

4、4     由此又可发现，代数式的系数为： 1 4  6  4  1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：                            1                (11^0) 1   1              (11^1) 1   2   1            (11^2) 1   3   3   1          (11^3 1   4   6   4   1        (11^4) 1   5  10  10   5  1       (11^5) 1   6  15  20  15  6   1     (11^6) 所以

5、，可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n  因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。2）杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：            1               (  1  ) 1   1             ( 1+1=2  ) 1   2 

6、  1           (1+2+1=4  ) 1   3   3   1         (1+3+3+1=8  ) 1   4   6   4   1       (1+4+6+4+1=16  ) 1   5  10  10   5  1      (1+5+10+10+5+1=32  ) 1   6  15  20  15  6   1    (1+6+15+20+15+6+1=64  ) „„ 相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，刚好是2的0，1，2，3，4，5次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8精品好文档，

7、推荐学习交流3） 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系                  (1) 1   (2)          n=1 1   1   (3)        n=2 1   2   1  (4)       n=3 1   3   3   1  (5)     n=4 1   4   6   4   1  (6)   n=5 1   5  10  10  5  1 (7) n=6