可降阶的高阶微分方程.doc

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1、可降阶的高阶微分方程解法①型的微分方程对两边积分，有，，……依次进行次积分即得通解．②型的微分方程方程的特点是右端不显含，令，则，于是原方程化为，是关于的一阶方程，若其解为，即，积分求解即可．③型的微分方程方程的特点是右端不显含自变量，令，则，于是原方程化为，是关于的一阶方程，若其解为，即，再积分求解即可．例题1求下列各微分方程的通解（1）；　　（2）解（1）原方程属于类型．令，则，原方程可化为，此为的一阶线性方程，其通解为，所以　　　　　　　　　　，分离变量后得　　　　　　，两边积分，得原方程的通解为．（2）原方程为属于类型．令，则，代

2、入原方程得，当时，得，即为原方程的解；当时，得　　　　　　　，分离变量　　　　　　　　　，两边积分　　　　　　　　，即　　　　　　　　　　　　，从而　　　　　　　　　　，分离变量，再两边积分后，得原方程通解为．练习练习1求方程的通解练习2求方程的通解。练习1解答：原方程为属于类型，令代入原方程得：                     它相当于两个方程：                     由第一个方程解得：y=C;        第二个方程可用分离变量法解得             p=C1y        从而         

3、             由此再分离变量，解得：                      这就是原方程的通解（解y=C包含在这个解中）练习2解答：原方程属于类型，令y'=p.，代入方程，得                    分离变量后，得                    积分，得            .即        再积分，即得原方程的通解：            .