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《实变函数(全)总结课件.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一节集合的概念第二节集合的运算第一章集合1.集合的基本概念及运算AB注:书中用表示包含或真包含关系(其中S为全集),简记为Ac2.集簇的交和并集簇的并集簇:特别当时,称集簇为集列,记为集簇的交例注:在本书中我们未把0包含在N内,+∞不在N中((])-2-1-1/n-1 01-1/n1例([a-1/na([([[a-1/n-1a-1/na-1/n+1a例([aa+1/n笛卡尔乘积3.集合的运算性质DeMorgan公式注:通过取余集,使A与Ac,∪与∩互相转换4.上、下极限集上极限集例:设A2n=[0,1]A2n+1=[1,2];
2、则上极限集为[0,2]下极限集例:设A2n=[0,1]A2n+1=[1,2];则上极限集为[0,2],下极限集为{1}上极限集极限集如果集列的上极限集与下极限集相等,即则称集列收敛,称其共同的极限为集列的极限集,记为:单调增集列极限定理9:单调集列是收敛的单调增集列极限分析当An为单调增加集列时单调减集列极限分析当An为单调减小集列时例((()))-n-1012n例[[]]-101234(补充)例1例2aa+1/kf(x)第三节对等与基数第一章集合定义1:设X,Y是两个非空集合,若依照对应法则f,对X中的每个x,均存在Y中唯一的y
3、与之对应,则称这个对应法则f是从X到Y的一个映射,记作f:X→Y或:设X,Y是两个非空集合,f是X×Y的子集,且对任意x∈X,存在唯一的y∈Y使(x,y)∈f,则f是从X到Y的一个映射注:集合,元素,映射是一相对概念略:像,原像,像集,原像集,映射的复合,单射,满射,一一映射(双射)1映射的定义[]例注:模糊集:参见:《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》,L.A.Zadeh2、实数的加法运算+:R×R→R(群,环,域)1、定积分运算为从[a,b]上的可积函数集到实数集的映射(函数,泛函,算子,变换)3、集合的特征函数(集合A与特征函数
4、互相决定)称为集A的特征函数,证明的过程略2集合运算关于映射的性质(像集)集合运算关于映射的性质(原像集)注:6),7)一般不能使等号成立,6)等号成立当且仅当f为单射,7)等号成立当且仅当f为满射证明的过程略3对等与基数1)设A,B是两非空集合,若存在着A到B的一一映射(既单又满),则称A与B对等,注:称与A对等的集合为与A有相同的势(基数),记作势是对有限集元素个数概念的推广记作约定1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,...2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-1
5、2n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...例有限集与无限集的本质区别:无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数(对等)且一定能做到,而有限集则不可能。例Galileo在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor开始系统考虑.基数的大小比较4Bernstein定理Bernstein定理的证明fλBernstein定理的证明证明:ABgfBernstein定理的证明ABggfffABfgffgBernstein定理的证明Bernstein
6、定理的证明此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.(举例)第二章点集1.开集、闭集P0为E的接触点:P0为E的聚点:P0为E的内点:说明:要证E是开集,只要证要证E是闭集,只要证若Eº=E,则称E为开集(E中每个点都为内点)若,则称E为闭集(与E紧挨的点不跑到E外)例:开区间(a,b)为开集说明:要证E是开集,只要证abx证明:任取x∈(a,b),取δ=min{
7、x-a
8、,
9、x-b
10、},则,从而x是(a,b)的内点,故(a,b)是开集。例:闭区间[a,b]为闭集说明:要证E是闭集,只要证abx证明:任取x∈[a,b]c
11、,取δ=min{
12、x-a
13、,
14、x-b
15、},则,从而x不是[a,b]的接触点,从而[a,b]的接触点都在[a,b]内,从而[a,b]是闭集。注:闭集为对极限运算封闭的点集即:A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点利用:p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn},使得或p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn},使得若(或),则称E为闭集。(与E接近的点不跑到E外)Eº为开集注:Eº为含于E内的最大开集E从而y为E的内点,从而所以x为Eº的内点,即证明:只要证任取,由内点的定义知任取,取E`为闭集E
16、证明:只要证任取,由聚点的定义知E`为闭集注:为包含E的最小闭集E从而即x为E的聚点,从而2开集与闭集的对偶性P0为E的接触点:P0为E的聚点:P0为E的内点:P0为E的外点:b.若E为开集,则Ec为闭集;若E为闭集,则Ec为开集。a.开集的余集是