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《实变函数(全)总结课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一节集合的概念 第二节集合的运算第一章集合1.集合的基本概念及运算AB注：书中用表示包含或真包含关系（其中S为全集）,简记为Ac2.集簇的交和并集簇的并集簇：特别当时，称集簇为集列，记为集簇的交例注：在本书中我们未把0包含在N内,+∞不在Ｎ中((])-2-1-1/n-1 01-1/n1例([a-1/na([([[a-1/n-1a-1/na-1/n+1a例([aa+1/n笛卡尔乘积3.集合的运算性质DeMorgan公式注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换4.上、下极限集上极限集例：设A2n=[0,1]A2n+1=[1,2];
2、则上极限集为[0,2］下极限集例：设A2n=[0,1]A2n+1=[1,2];则上极限集为[0,2],下极限集为{1}上极限集极限集如果集列的上极限集与下极限集相等，即则称集列收敛，称其共同的极限为集列的极限集，记为：单调增集列极限定理9：单调集列是收敛的单调增集列极限分析当An为单调增加集列时单调减集列极限分析当An为单调减小集列时例(((）))-n-1012n例[[]]-101234（补充）例1例2aa+1/kf(x)第三节对等与基数第一章集合定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则f，对X中的每个x，均存在Y中唯一的y
3、与之对应，则称这个对应法则f是从X到Y的一个映射，记作f:X→Y或：设X,Y是两个非空集合，f是X×Y的子集，且对任意x∈X，存在唯一的y∈Y使(x,y)∈f，则f是从X到Y的一个映射注：集合，元素，映射是一相对概念略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）１映射的定义[]例注：模糊集：参见：《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》，L.A.Zadeh2、实数的加法运算+:R×R→R(群,环,域)1、定积分运算为从[a,b]上的可积函数集到实数集的映射(函数,泛函,算子,变换)3、集合的特征函数（集合A与特征函数
4、互相决定）称为集A的特征函数，证明的过程略2集合运算关于映射的性质（像集）集合运算关于映射的性质（原像集）注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射，7）等号成立当且仅当f为满射证明的过程略3对等与基数1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广记作约定1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,...2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-1
5、2n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...例有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。例Galileo在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor开始系统考虑.基数的大小比较4Bernstein定理Bernstein定理的证明fλBernstein定理的证明证明:ABgfBernstein定理的证明ABggfffABfgffgBernstein定理的证明Bernstein
6、定理的证明此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.(举例)第二章点集1.开集、闭集P0为E的接触点：P0为E的聚点：P0为E的内点：说明：要证E是开集，只要证要证E是闭集，只要证若Eº=E,则称E为开集（E中每个点都为内点)若,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）例：开区间(a,b)为开集说明：要证E是开集，只要证abx证明：任取x∈(a,b),取δ=min{
7、x-a
8、,
9、x-b
10、},则,从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。例：闭区间[a,b]为闭集说明：要证E是闭集，只要证abx证明：任取x∈[a,b]c
11、,取δ=min{
12、x-a
13、,
14、x-b
15、},则,从而x不是[a,b]的接触点，从而[a,b]的接触点都在[a,b]内，从而[a,b]是闭集。注：闭集为对极限运算封闭的点集即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点利用：p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn},使得或p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn},使得若（或）,则称E为闭集。（与E接近的点不跑到E外）Eº为开集注：Eº为含于E内的最大开集E从而y为E的内点，从而所以x为Eº的内点，即证明：只要证任取，由内点的定义知任取，取E`为闭集E
16、证明：只要证任取，由聚点的定义知E`为闭集注：为包含E的最小闭集E从而即x为E的聚点，从而2开集与闭集的对偶性P0为E的接触点：P0为E的聚点：P0为E的内点：P0为E的外点：b.若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集。a.开集的余集是
