由平行截面面积求体积.doc

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1、§2由平行截面面积求体积教学目标：掌握由平行截面面积求体积的计算公式教学内容：由平行截面面积求体积的计算公式．基本要求：掌握由平行截面面积求体积的计算公式．教学建议：(1)要求学生必须熟记由平行截面面积求体积的计算公式并在应用中熟练掌握．(2)进一步领会微元法的要领．教学过程：设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x轴的两平面之间若在任意一点处作垂直于x轴的平面，则它截得的截面面积显然是的函数，记为，，并称之为的截面面积函数。下面将导出由截面面积函数求立体体积的计算公式和旋转体的计算公式。一、立体体积设截面面积函数是上的一个连续函数。对作分割过这些分点作垂直于x轴的平

2、面它们把分成n个薄片（）。分别表示在上的最大值和最小值，则有于是，的体积满足：由在上连续知，它在上可积。所以对任意当分割的细度足够小时，就有所以有例1、求两个柱面与所围立体的体积。解：由对称性知，只须计算第一卦限的体积再乘以8即可。对任一平面与这部分立体的截面是一个边长为的正方形，所以由公式得例2、求由椭球面所围立体的体积。解：以平面截椭球面。得椭圆所以截面面积函数为于是椭球体积为注：当时，球的体积为二、旋转体的体积设是上的连续函数，是由平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体。则截面面积函数为因此旋转体的体积公式为例3、求圆锥体的体积公式。解：设正圆锥的高为，底圆半径为

3、这圆锥体可由平面图形绕x轴旋转一周而得。其体积为例4、求由圆绕x轴旋转一周所得环状立体的体积。解：圆的上、下半圆分别为其中故圆环体的截面面积函数是圆环体的体积为作业：P246:1;2;3.