定积分的应用1平面图形的面积2由平行截面面积求体积

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1、第十章定积分的应用§1平面图形的面积§2由平行截面面积求体积§3平面曲线的弧长§4旋转曲面的面积首页ק1平面图形的面积一、直角坐标方程情形二、参数方程情形三、极坐标方程情形首页×我们知道,有些曲线用直角坐标方程表示比较方便,而另外一些曲线以参数方程或极坐标方程给出更简单一些.因此我们在三种情形下分别讨论.首页×一、直角坐标方程情形由连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a，x=b(a＜b）和x轴所围曲边梯形的面积为首页×由连续曲线y=f(x)(≤0)，以及直线x=a，x=b与x轴所围曲边梯形的面积为形的面积为A=.由此，易知下述结论成立：(i)由上、下两条连

2、续曲线首页×如果f(x)在[a，b]上不都是非负的，则所围图与以及两条直线x=a与y=b（a＜b）所围的平面图形的面积计算公式为A=(1)注当两条直线其中之一或两条缩为点时,仍可用公式(1).例1求由抛物线与直线x－2y－3=0所围平面图形的面积A.解先求出抛物线与直线的交点P(1,－1)与Q(9,3).用x=1把图形分为左、首页×所以A=A1+A2=.yxOx=1分别求得它们的面积为右两部分,应用公式(1)(ii)设平面图形由左、右两条连续曲线ｘ＝g1(y),ｘ＝g2(y)及上、下两条平行直线ｙ＝ｃ，ｙ＝ｄ(ｃ

3、抛物线方程和直线方程改写成x=y2=g1(y),x=2y+3=g2(y)，y∈[－1，3].并改取积分变量为y，便得A==首页×注一般平面图形都可以归结为以上（i）（ii）两种基本图形，有些图形可能是以上两种基本图形的组合.二、参数方程情形设曲线C由参数方程x=x（t），y=y（t），t∈[,].(2)给出，在[,]上，y（t）连续，x（t）连续可微且（对于y（t）连续可微且的情形可类似地讨论）.记a=x()，b=x()(a

4、=如果由参数方程（2）所表示的曲线是封闭的，即有x（）=x(),y()=y().且在(,)内曲线自身不再相交，那么由曲线自身所围图形的面积为A=(或).(4)此公式可由公式(1)和(3)推出，绝对值内的积分，其正、负由曲线(2)的旋转方向所确定.例2求由摆线x=a(t－sint),y=a(1－cost)(a>0)的一拱与x轴所围平面图形面积.首页×例3求椭圆所围的面积.解化椭圆为参数方程x=acost，y=bsint，t∈[0，2].由公式(4)，求得椭圆所围面积为A==ab显然，当a=b=r时，这就等于圆面积首页×三、极坐标方程情形设曲线C有极坐标方程由曲线C与

5、两条射线所围成的平面图形，通常也称为扇形.首页×此扇形的面积计算公式为A=.(5)这仍可由定积分的基本思想而得，即通过“分割、小扇形.(i)对区间[,]作任意分割T：射线=i（i=1，2，…，n－1）把扇形分成n个首页×近似求和、取极限”三个步骤来得到.这时，第i个小扇形的面积于是(iii)由定积分的定义和连续函数的可积性，当(ii)由于r()是连续的，因此当很小时，在每一个上r()的值变化也很小.任取便有i=1，2，…，n.→0时，上式右边的极限即为公式（5）中的定积分.首页×