函数的连续性解读.doc

《函数的连续性解读.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§4函数的连续性1．函数连续的概念一个连续量随着另一个连续量连续地变化——连续函数定义3.7设在包含的一个开区间有定义．如果＝，则称函数在是连续的．称为的连续点．否则，称是的间断点．从定义可见，在连续，当且仅当满足下列三个条件：(i)在附近有定义，特别是在有定义；(ii)极限存在；(iii)上述极限值恰好为函数值．对照函数在有极限和函数在连续：，，当时，有，，当时，有两者的差别就只有“一点”等价定义：令，称为自变量（在点）的增量，，称为函数（在点）的增量当时，有，于是在是连续，，当时，有，，当时，有在左连续且右连续函数在连续定义为＝也可以写作＝．这表

2、示，在函数连续的情况下，求极限可以直接把自变量的极限代入，或者说，极限运算与函数对应法则可以交换次序．定义3.8设定义在内，若它在内的每一点都是连续的，则称在区间是连续的．设定义在，若它在的每一点都连续，且在点右连续，在点左连续，则称在区间是连续的。半开区间的连续性类似定义。函数的连续性是用极限定义的，而极限前面已研究过。例l试证在是连续的．证明对任意的，是有意义的，故只需证明＝事实上，

3、－

4、＝

5、2

6、≤2

7、

8、≤2＝．因此，任意给定，取，只要，便有

9、－

10、，这就证明了在连续，从而证明了在连续．2．间断点分类根据在点连续必须满足的三个条件，间断点不外乎下列

11、三种类型：1、可去间断点——极限存在2、第一类间断点——在点的左、右极限都存在但不相等．3、第二类间断点——在点的左、右极限至少有一个不存在．(1)可去间断点——极限存在．（此时不论在点是否有定义）例如，函数＝在＝0点有可去间断点．因为＝1存在，尽管函数在＝0点无定义．又如，函数在＝0有可去间断点．因为＝0，尽管函数在＝0点有定义，但函数值＝1不等于极限值0．对于可去间断点，可以补充定义或修改定义使函数在该点连续．例如，对上面的函数补充定义＝1，得则在＝0点连续，而对，修改它在0点的定义为＝0，得则在＝0点连续(1)第一类间断点——在点的左、右极限都

12、存在但不相等．有时也把这种间断点称为跳跃间断点。例如取整函数＝，＝，＝(3)第二类间断点——在点的左、右极限至少有一个不存在。无穷型间断：例如函数，＝0是它的第二类间断点，因为＝振荡型间断：例如函数，在＝0点左、右极限都不存在．再考虑狄利克雷函数．它在内任一点不连续．上面两例都是当时，函数值不断地在两点之间跳动，所以左、右极限均不存在，因此是函数的第二类间断点，可去间端点——非本质的，补充或修改定义可使其连续第一类和第二类间断——本质的，不能通过修改函数在该点的值使其成为连续的．第二类间断点可能是无穷型的，也可能是振荡型的．3．连续函数的运算与初等函

13、数的连续性．定理3.13若和都在点连续，则、、()也在点连续．证由极限的四则运算法则立得。定理3.13（复合函数的连续性定理）若函数在点连续，在连续，且＝，则复合函数在点连续．证明由在点连续，知对任给，存在，当时，有又由在点连续和＝，知对上述，存在，当时，有＝<.因此，当时，有这就证明在点连续。下面我们证明本章的一个重要定理.定理3.15初等函数在其定义域内是连续的。证明思路：由初等函数的定义，若基本初等函数在定义域连续，且经过有限次四则运算、复合运算后仍连续，则初等函数在定义域内连续。实数连续性定理连续函数定义区间套定理闭区间上连续函数介值定理连续

14、函数的四则运算复合函数连续性反函数的连续性初等函数连续性图表1基本初等函数连续性的证明思路和顺序见图表2。其中反三角函数和对数函数的连续性，利用了反函数的连续性。为证明反函数的连续性，我们用实数连续性定理先证明了一个闭区间上连续函数的重要定理——介值定理，在这个基础上证明反函数的连续性。连续函数定义四则运算反函数的连续性复合函数连续性图表2定义3.10设一组实数的闭区间序列，n＝l，2，…，满足：（i），n＝1，2，…；(ii)，则称构成一个区间套．是一个区间套，意指每一个区间都包含下一个区间(一个套一个)，且区间长度的极限为0．定理3.16(区间套

15、定理)设是一个区间套，则必存在唯一的实数r，使得r包含在所有的区间里，即．证明用单调有界序列有极限存在的定理来证明．事实上，已知是单调上升有上界，是单调下降有下界，即任意有，因此，均有极限存在，记．．由于，知.下证。对任意，由于，令取极限，得.同理，在不等式中令取极限，得.这就证明了对任意，有，即.最后证明唯一性．若有满足，，则故.即这样的是唯一的．定理3.16证完．定理的证明表明，区间套“套出”的这一个点，它同时是，的极限.这一点以后用区间套定理时会经常用到．注：区间套中闭区间不能改为开区间，否则定理未必成立。例如，取，则.定理3.17（连续函数介

16、值定理）若在连续，不妨设，则对任意，存在，使得＝c证明用区间套定理．只要证：若在连续，且，，则存在，使得．否