《函数的的连续性》doc版

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3、求极限．重点函数在一点连续的概念．难点间断点的分类，分段函数在分段点的连续性．基础知识导学1．函数连续的定义（1）函数连续的定义函数在一点连续有三个定义，这三个定义是等价的。定义1（极限形式的定义）当x趋向于x0时，函数f(x)以f(x0)为极限，即（ⅰ）则称函数f(x)在x0点处连续。上述定义也可用“–δ”语言叙述如下：定义2（“–δ”形式的定义）＞0，＞0，使得当

4、x-x0

5、＜δ时，恒有

6、f(x)–f(x0)

7、＜（ⅰ）式也可变为：给x0以改变量Δx，则x=x0+Δx（Δx可正可负）。当x→x0时，Δx→0，相

8、应的函数的改变量为Δy，有Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f(x)-f(x0)所以（ⅰ）式可以写成因此有定义3（改变量形式的定义）给x0以改变量Δx，相应有函数的改变量Δy，当Δx趋向于0时，函数的改变量Δy趋向于0，即（ⅱ）则称函数f(x)在x0点处连续。也就是说，只要x无限地趋向于x0，即只要Δx→0，函数f(x)就无限地趋向于f(x0)，即Δy→0，那么函数f(x)在x0点处必定连续。f(x)在开区间（a,b）内连续是指函数f(x)在开区间（a,b）内的每一点处都连续。f(x)在闭区间[a,b]上连续是

9、指函数f(x)在开区间（a,b）内连续，且在区间的左端点a处右连续（即f(a+0)=f(a)），在区间的右端点b处左连续（即f(b-0)=f(b)）。函数f(x)在x0点连续的充要条件是f(x)在x0点左连续且右连续，即f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0)（2）左右连续的概念　若，则称函数在点处左连续；若，则称函数在点处右连续．（3）函数在一点连续的充分必要条件函数在点处连续的充分必要条件是在点处既左连续又右连续．由此可知，函数在点处连续，必须同时满足以下三个条件：①　函数在点的某邻域内有定义，②　存在，③

10、　这个极限等于函数值．⑶　函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间．如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．（4）函数的间断点由定义1可知，函数f(x)在x0点连续必须满足以下三个条件：1）f(x)在x0点处有定义；2）f(x)在x0点处极限存在，即（A为常数）；3）f(x)在x0点处的极限值等于函数值，即A=f(x0)反之，若函数f(x)在x0点不满足连续的条件，即如果函数f(x)在x0

11、点处有下列三种情况之一：1）在x0邻近的点，f(x)有定义，但在x=x0处，f(x)没有定义；2）虽在x=x0有定义，但不存在；3）虽在x=x0有定义，存在，但则称函数f(x)在x0点不连续，称点x0为函数f(x)的间断点或不连续点。间断点的类型左右极限存在的间断点称为第一类间断点；左右极限至少有一个不存在的间断点（或不属于第一类间断点的）称为第二类间断点。2、连续函数的运算法则定理1若函数f(x)与g(x)在x=x0连续，则f(x)±g(x)，f(x)·g(x)，f(x)/g(x)（g(x0)≠0）在点x0处连

12、续。定理1可以推广到有限多个函数的情况。定理2设有两个函数y=f(u)，u=φ(x)，若u=φ(x)在点x=x0处连续，函数y=f(u)在点u0=φ(x0)处连续，则复合函数y=f[φ(x)]也在点x=x0处连续。定理3单调连续函数的反函数也是单调连续的。定理4基本初等函数在其定义域内是连续的。定理5初等函数在其定义域内是连续的。3、闭区间上连续函数的性质（1）最大（小）