高中数学解题方法谈三次函数与导数.pdf

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1、三次函数与导数高中教材增加导数及应用这一新内容后，高考试题中自然形成了新的知识热点，围绕三次函数这一知识点来命题．主要有以下几类．一、与三次函数图象上某点的切线相关的数学问题例１曲线yx33x21在点（1，－1）处的切线方程为（）．A．y3x4B．y3x2C．y4x3D．y4x5分析：先求此处的导数值，即切线的斜率，再由点斜式得出直线的方程．答案选B．．二、与三次函数有关的单调性问题11例2若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间（1，4）内为减函数，在区间32（6，+∞）上为增函数，试求实数

2、a的取值范围．分析：本小题主要考查导数的概念、应用导数研究函数单调性的基本方法及综合运用数学知识解题的能力．解：函数f(x)的导数f(x)x2axa1．令f(x)0，解得x=1或xa1．当a1≤1，即a≤2时，函数f(x)在（1，+∞）上是增函数，不合题意．当a11，即a＞2时，函数f(x)在（∞，1）上为增函数，在（1，a1）内为减函数，在（a1，+∞）为增函数．依题意应有当x(1，，4)f(x)0；当x(6，)，f(x)0则4≤a1≤6．解得5≤a≤7．所以a的取值范围是［5，7

3、］．三、与三次函数有关的极值、最值问题例3已知a为实数，f(x)(x24)(xa)．（1）求导数f(x)；（2）若f(1)0，求f(x)在［2，2］上的最大值和最小值；（3）若f(x)在（∞，2］和［2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．解：（1）由原式，得f(x)x3ax24x4a，∴f(x)3x22ax4．1（2）由f(1)0，得a．21此时有f(x)(x24)x，f(x)3x2x4．24令f(x)0，得x或x1．34509又f，f(

4、1)，f(2)0，f(2)0，3272950所以f(x)在［2，2］上的最大值为，最小值为．227（3）解法1：因为f(x)3x22ax4的图象是开口向上且过点（0，4）的抛物线，4a8≥0，由条件，得f(2)≥0，f(2)≥0，即．84a≥0.所以2≤a≤2．所以a的取值范围为［2，2］．解法2：令f(x)0，即3x22ax40，aa212由求根公式得x(xx)，1，2312所以f(x)3x22ax4在（，x］和［x，）上非负．12a212≤

5、a6，由题意可知，x≥2，x≤2，即．12a212≤6a.解不等式组，得2≤a≤2．所以a的取值范围是［2，2］．四、不求导借助函数方程知识求解值得注意的是，并非所有三次函数都必须用到导数．例4借助图形特征，用方程知识求解更好！例4已知函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则（）．A．b(，0)B．b(01)，C．b(1，2)D．b(2，)解析：观察图象，你能够看到什么？联想到什么？①图象过原点，由f(0)0，可求得d0，f(x)ax3bx2cxx(ax2bxc)；

6、②图象通过（1，0）、（2，0）两点，abc0，显然有，即6a2b0，8a4b2c0，∴b3a；③a是什么数？是正还是负？联想当x时，f(x)→+∞，所以有a＞0．∴b0，b(，0)，故选A．