高中数学竞赛基本公式集锦.pdf

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1、高中数学竞赛基本知识集锦广州市育才中学数学科邓军民整理一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：半角公式1cossin221coscos221cos1cossintan21cossin1cos积化和差sincos1sinsin2cos

2、sin1sinsin2coscos1coscos2sinsin1coscos2和差化积sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22万能公式2tansin21tan21tan2cos21tan22tantan21tan

3、2三倍角公式sin33sin4sin34sin60sinsin60cos34cos33cos4cos60coscos60二、某些特殊角的三角函数值除了课本中的以外，还有一些sincostan156262234475626223441851472514三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最

4、常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去举个例子246求值：coscoscos7772提示：乘以2sin，化简后再除下去。7求值：cos210cos250sin40sin80来个复杂的ni2n1设n为正整数，求证sin2n12ni1另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲四、三角不等式证明最常用的公式一般就是：x为锐

5、角，则sinxxtanx；还有就是正余弦的有界性。例求证：x为锐角，sinx+tanx<2x设xyz，且xyz，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值。122注：这个题目比较难数列关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东西，不然我可写不完了。1给递推式求通项公式(1)常见形式即一般求解方法注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。①apaqn1n若p=1，则显然是以a为首项，q为公差的等

6、差数列，1qqq若p≠1，则两边同时加上，变为apap1n1p1np1q显然是以a为首项，p为公比的等比数列1p1②apafn，其中f(n)不是常数n1nn1若p=1，则显然a=a+fi，n≥2n1i1aafn若p≠1，则两边同时除以pn+1，变形为n1npn1pnpn1aan1fin1fi利用叠加法易得n1，从而apn1apnppi1n1pii1i1注：还有一些递推公式也可以用一般方

7、法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。(2)不动点法当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。aab典型例子：ann1cadn注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了axb令x，即cx2daxb0，cxd令此方程的两个根为

8、x，x，12若x=x12则有11paxaxn11n1其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。2c注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=ad若x≠x则有12axaxn11qn1axaxn12n2其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。acx注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=1acx2(3)特征根法特征根法是专用来求线性递推式的好方法。先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。①apaqan2n