高中数学教学论文 数列通项公式的求法集锦.pdf

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1、数列通项公式的求法集锦非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。一、累加法形如aafn()(n=2、3、4…...)且ff(1)(2)...f(n1)可求，则用累nn1加法求a。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。n例1.在数列{a}中，a=1，aan1(n=2、3、4……)，求{a}的通项公式。n1nn1n解：∵na11时，1na21时,a21aa232nn(1)aa3这n-1个等式累加得

2、：aa12...（n-1）=43n12.......aan1nn122nn(1)nn2nn2故aa且a1也满足该式∴a(nN).n11n222n例2．在数列{a}中，a=1，aa2(nN),求a。n1nn1nna22时,a212aa2323解：n=1时,a=1aa2以上n-1个等式累加得143.......n1aa2nn1n121n2(12)nnnaa22...2==22，故aa2221且a1也满n1n11

3、12n足该式∴a21(nN)。n二、累乘法an形如f()n(n=2、3、4……)，且ff(1)(2)...f(n1)可求，则用累乘法an1求a。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。n例3．在数列{a}中，a=1，ana，求a。n1nn1n用心爱心专心1an1解：由已知得n，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，anaaaaa243nn即........=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，(1n)!故aaaaa123n11an(1)!n

4、且a0!=1也适用该式∴an(1)!(nN).1n2n例4．已知数列{a}满足a=，aa，求a。n1n1nn3n1ann1解：由已知得，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入an1naaaa123n1243n上式得n-1个等式累乘，即........=......aaaa234n123n1a122n所以，又因为a也满足该式，所以a。1nan33n1三、构造等比数列法原数列{a}既不等差，也不等比。若把{a}中每一项添上一个数或一个式子构成新数nn列，使之等比，从而求出an。该法适用于递推式形如a

5、n1=banc或an1=banfn或na=bac其中b、c为不相等的常数，fn为一次式。n1n例5、（06福建理22）已知数列{a}满足a=1，a=21a(nN)，求数列{a}n1n1nn的通项公式。解：构造新数列ap，其中p为常数，使之成为公比是a的系数2的等比数列nn即ap=2(ap)整理得：a=2ap使之满足a=2a1∴p=1n1nn1nn1nn1n即a1是首项为a1=2，q=2的等比数列∴a1=22a=21n1nn3an1例6、（07全国理21）设数列{a

6、}的首项a(0,1)，a=，n=2、3、4……n1n2（）求{a}的通项公式。n1解：构造新数列ap，使之成为q的等比数列n2用心爱心专心21133an1即ap=(ap)整理得：a=ap满足a=nn1nn1n2222331得p=∴p=-1即新数列a1首项为a1，q的n12221n11n1等比数列∴a1=(1a）（）故a=(1a）（）+1n1n122例7、（07全国理22）已知数列{a}中，a=2，a=(21)(2a)nNn1n1n（）求{a}的通项公式。n解：构

7、造新数列ap，使之成为q21的等比数列nap=(21)(ap)整理得：a=(21)a+(22)pn1nn1n使之满足已知条件a=(21)a+2(21)∴(22)p2(21)解得n1np2∴{a2}是首项为22q21的等比数列，由此得nn1na2=(22)(21)∴a=2(21)2nnn例8、已知数列{a}中，a=1，a=2a3，求数列的通项公式。n1n1nn分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3是变量，而不是常量了。故应构造n新数列{a3}，其中为常数，使之为

8、公比是a的系数2的等比数列。nnn解：构造数列{3a}，为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列nn1nnn1即a3=2(a3)整理得：a=2(a233)n1nn1nnnn1nn满足a=2