2016挑战中考数学压轴题图形运动中由面积产生的函数关系问题.doc

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1、由面积产生的函数关系问题例12015年上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cosA＝，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为，求AP的长．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“15徐汇25”，拖动点P在AB上运动，观察MN的度量值，可以体验到，MN≈1

2、.41的时刻只有一个，MN与圆心距CP相交．思路点拨1．△PCD的底边CD上的高，就是弦AD对应的弦心距．2．若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C的半径等于1，公共弦MN＝，那么△CMN是等腰直角三角形．在四边形CMPN中，利用勾股定理列关于x（⊙P的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt△ABC中，AC＝4，cosA＝，所以AB＝16，BC＝．设弦AD对应的弦心距为PE，那么AE＝AP＝x，PE＝AP＝x．所以y＝S△PCD＝＝＝．定义域是0＜x＜8．（2）若⊙P被直线BC和直线AC截

3、得的弦长相等，那么对应的弦心距PF＝PE．因此四边形AEPF是正方形（如图3），设正方形的边长为m．由S△ABC＝S△ACP＋S△BCP，得AC·BC＝m(AC＋BC)．所以m＝＝．此时AE＝＝，AP＝4AE＝．图2图3（3）如图4，设⊙C与⊙P的公共弦为MN，MN与CP交于点G．由于CM＝CN＝1，MN＝，所以△CMN是等腰直角三角形，CG＝NG＝．如图5，作CH⊥AB于H，由AC＝4，那么AH＝1，CH2＝15．所以CP＝＝．因此PG＝（如图4）．如图4，在Rt△PNG中，由勾股定理，得．整理，得2x2－64x＋257＝0

4、．解得，（舍去）．图4图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF＝BP＝，由PE＝PF，得．解得．例22014年黄冈市中考第25题如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕

5、着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14黄冈25”，拖动点P从O开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上．思路点拨1．△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．满分解答（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1

6、，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)．于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1．解得．所以．顶点M的坐标为．（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t,0)，Q(t,－t)．（3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)．将O′(2t,－2t)代入，得．解得．将Q′(3t,－t)代入，得．解得t＝1．因此，当时，点O′落在抛物线上（如图2）；当t＝1时，点Q′落在抛物线上（如图3）．图2图3（4）①如图4，当0＜t≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ．此时

7、S＝t2．②如图5，当1＜t≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPFA．此时AF＝2t－2．此时S＝．图4图5③如图6，当1.5＜t＜2时，重叠部分是五边形OCEFA．此时CE＝CP＝2t－3．所以BE＝BF＝1－(2t－3)＝4－2t．所以S＝．图6考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系？如图4，．如图5，．如图6，．例32013年菏泽市中考第21题如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABC

8、D能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？图1动感体验请打开几何画