中考压轴题：由比例线段产生的函数关系问题1

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1、例2008年上海市长宁区中考模拟第25题如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，以O为坐标原点，x轴与AC平行，y轴与CB平行，建立直角坐标系，AC与y轴交于点M，BC与x轴交于点N．将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点O处，绕点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q．（1）证明：△OMP∽△ONQ．（2）若∠A＝60°，AB＝4，设点P的横坐标为x，PQ的长为L，当点P在边AC上运动时，求L与x的函数关系式及定义域．（3）若∠A＝60°，AB＝4，当△PQC的面积为时，试求CP的长．图1动感体验请打开文件名“08长宁25”．拖动点

2、P在从A向C慢慢运动，观察L随xP变化的图象可以体验到，在P从A到M的过程中，L越来越小；在P从M到C的过程中，L越来越大．拖动点P运动，可以体验到，△POQ的大小虽然在变，但是形状不变．拖动点P在射线CA上运动，观察面积PQC的度量值，可以体验到，有三个时刻，△PQC的面积为．思路点拨1．证明△OMP∽△ONQ可以得到丰富的结论，例如△POQ的三边比为2∶1∶，等，这些结论在第（2）、（3）题中都会用到．2．用勾股定理可以写出OP关于x的关系式，再用△POQ的三边比可以求出PQ关于x的关系式．3．用含有x的式子表示线段CQ的长是本题的难点和关键，不仅要分类讨论，而且要

3、数形结合．满分解答（1）证明：∵∠MOP＋∠PON＝90°，∠NOQ＋∠PON＝90°，∴∠MOP＝∠NOQ．又∠OMP＝∠ONQ＝90°，∴△OMP∽△ONQ．（2）解：在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，所以OM＝,ON＝1．在Rt△ABC中，，所以．—14—∵△OMP∽△ONQ，∴．又∠POQ＝∠BCA＝90°，∴△POQ∽△BCQ．∴．∴．定义域是－1≤x≤1．(3)由△OMP∽△ONQ，知，所以．①当点Q在BN上时，P在MC上，≥0，所以；②当点Q在NC上时，P在CM的延长线上，＜0，所以．因此，当点Q在BC上时，由，得．解得．所以当CP＝1或3时,△C

4、PQ的面积是．③如图2，当点Q在BC的延长线上时，，于是．解得x1＝－1－,x2＝－1＋(舍去)．图2所以当CP＝2＋时,△CPQ的面积是．考点伸展在第（3）题中，按点Q的位置进行分类，在分类计算以后，①和②的结果是相同的．如果在第（2）题中就这样分类的话，求L关于x的函数关系式，也可以在Rt△PCQ中用勾股定理求得．—14—例2008年上海市上海市部分学校抽样测试第25题已知：在正方形ABCD中，M是边BC的中点（如图1所示），E是边AB上的一个动点，MF⊥ME，交射线CD于点F，AB＝4，BE＝x，CF＝y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．（2）当点

5、F在边CD上时，四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化？请说明理由．（3）当DF＝1时，求点A到直线EF的距离．图1（备用图）动感体验请打开文件名“08抽样25”．拖动点E在AB上运动，从图形中可以看到y随x的增大而减小，当E与B重合时，点F就不存在了．从图象可以体验到，y是x的反比例函数．从图形中还可以体验到，MN既是直角△EFM的斜边上的中线，也是梯形EBCF的中位线，因此EF的长等于BE＋CF．拖动点E在AB上运动，可以体验到，△AEF的边AE上的高是定值4．点A到直线EF的距离，就是△AEF的边EF上的高AH．双击按钮“DF＝1，CF＝3”和“DF＝1，

6、CF＝5”可以准确显示DF＝1的两种情况．思路点拨1．证明△EBM∽△MCF，根据对应边成比例可以求出y关于x的函数解析式．2．构造以EF为斜边的直角三角形，用勾股定理可以求得EF＝x＋y，在这个式子的变形过程中，要用到第（1）的结论变形xy＝4．3．用几何法证明EF＝BE＋CF，做EF的中点N，MN既是直角△EFM的斜边上的中线，也是梯形EBCF的中位线，因此EF的长等于BE＋CF．4．分类讨论DF＝1，按照F与D的位置关系，可以分为CF＝3和CF＝5两种情况．5．点A到直线EF的距离，就是△AEF的边EF上的高AH，用面积法求AH．满分解答解：如图2，∵∠EMB＋∠

7、CMF＝90°，∠CMF＋∠CFM＝90°，∴∠EMB＝∠CFM．又∠B＝∠C＝90°，∴△EMB∽△MFC．图2∴，即．—14—因此所求的函数解析式为．（）（2）不变．理由如下：如图2，作EG⊥CD于点G，那么．所以四边形AEFD的周长＝AE＋EF＋DF＋AD＝4−x＋x＋y＋4−y＋4＝12．（3）当DF＝1时，CF＝3或CF＝5．联结AF，设点A到直线EF的距离为d．①如图3，当CF＝3时，BE＝．此时，．因此S△AEF＝，即．所以．②如图4，当CF＝5时，．同理可得．综上所述，点A到直线EF的距离为或．图3图4图5图6考点伸展第（