比例线段产生的函数关系问题

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1、比例线段产生的函数关系1.（01年上海27题12分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．解析：①证明：∵∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DP

2、C＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC＝∠A，∴∠ABP＝∠DPC．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠A＝∠D．∴△ABP∽△DPC．②解：设AP＝x，则DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得，即，解得x1＝1，x2＝4，则AP的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴．即，得，1＜x＜4．②AP＝2或AP＝3－．2.（03年上海27题）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC

3、于点F，G为切点：（1）当∠DEF＝45º时，求证：点G为线段EF的中点；（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△DEF，如图，当EF＝时，讨论△ADD与△EDF是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。3.（05年上海25题12分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。（1）如图8，求证：△ADE

4、∽△AEP；（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BF＝1时，求线段AP的长.J4.（06年25题）（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分）已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO。求证：△CAO∽△BCO；（2）如果AP=m（m是常数，且m〉1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项。当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）；（3）在（2）

5、的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。APBOC（1）证明：，．．（2分），（1分）．，．（1分）（2）解：设，则，，是，的比例中项，，（1分）得，即．（1分）．（1分）是，的比例中项，即，，．（1分）设圆与线段的延长线相交于点，当点与点，点不重合时，，．（1分）．（1分）；当点与点或点重合时，可得，当点在圆上运动时，；（1分）（3）解：由（2）得，，且，，圆和圆的圆心距，显然，圆和圆的位置关系只可能相交、内切或内含．当圆与圆相交时，，得，，；（1分）当圆与圆内切时，，得；（1分）当圆与圆内含

6、时，，得．（1分）5.（10年上海25题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠BAC=60°．∵AD=AE，∴∠AED=60°=∠CEP，∴∠EPC=30°．∴△BDP为等腰三角形．∵△

7、AEP与△BDP相似，∴∠EPA=∠DPB=30°，∴AE=EP=1．∴在Rt△ECP中，EC=EP=；（2）设BD=BC=x．在Rt△ABC中，由勾股定理，得：（x+1）2=x2+（2+1）2，解之得x=4，即BC=4．过点C作CF∥DP．∴△ADE与△AFC相似，∴，即AF=AC，即DF=EC=2，∴BF=DF=2．∵△BFC与△BDP相似，∴，即：BC=CP=4．∴tan∠BPD=．（3）过D点作DQ⊥AC于点Q．则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1﹣a．∴且，∴DQ=3（1﹣a）．∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD2=

8、AQ2+DQ2即：12=a2+[3（1﹣a）]2，解之得．∵△ADQ与△ABC相似，∴．∴．∴△ABC的周长，即：y=3+3x，其中x＞0．【课后作业】1．一艘轮船