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1、4.5分部积分法分部积分公式例题小结思考题作业integrationbyparts第4章定积分与不定积分1解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式???特点被积函数是两个不同函数的乘积.具有连续导数.两边求不定积分一、分部积分公式2恰当选取u和dv是一个关键,v要易求;分部积分公式选取u和dv的一般原则是:(1)(2)3例解显然,法一法二二、例题选择不当,积分更难进行.4例求解(再次使用分部积分法)56例求解?7例求解化简型8注利用可把的积分化为9例求解注意循环形式uudvuudv应用分部积分法时,可不明显地写出如何选取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况)10注意前后
2、几次所选的应为同类型函数.11例求解udv循环型分部积分法12使用分部积分法的关键是正确地选取(因为“幂三指”好积,分部积分法把被积函数视为两个函数的乘积,按“反对幂三指”的顺序,前者为后者为常用的方法:它自己简单.)小结“反对”的导数比13考研数学三,6分解令则有于是练习在积分过程中常常兼用各种积分法.14曾用换元积分做过,现可用分部积分做!例u15dvu利用分部积分法可以得到一些递推公式:例试证递推公式证由分部积分法得16由此推出17利用这个递推公式及公式递推型如递推型递推公式,虽然积分没有具体求出来,但每用一次公式n就降低一次至两次,连续应用.就可以求出每个积分In.18定积分
3、的分部积分公式设u(x),v(x)在区间[a,b]上有连续的导数,则由不定积分的分部积分法及N--L公式.对于定积分,有类似的分部积分公式.19例解原式=?20解考研数学(二),填空题,4分原式=练习或先不定积分的分部积分再定积分.21例解考研数学(一)计算5分原式=22解考研数学(一)填空4分原式=练习分部积分23例解无法直接求出f(x),因为没有初等原函数,分析被积函数中含有“积分上限的函数”,所以用分部积分法做.选择积分上限的函数为u.24注今后也可将原积分化为二重积分计算.25例证明定积分公式证设n为正偶数n为大于1的正奇数J.Wallis公式十七世纪的英国数学家JohnWa
4、llis给出.26积分关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止因为27所以,当n为正偶数时,当n为大于1的正奇数时,28例n为正偶数n为大于1的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用.注29例解用公式n为正偶数30考研数学(一)计算11分如图,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分练习解2分4分6分分部积分31考研数学(一)计算11分如图,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,
5、2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分练习6分8分11分32练习解用定积分的分部积分公式33解则是奇函数,是偶函数,练习n为正偶数由于被积函数以为周期,周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.34分部积分公式1.原则:2.经验:3.题目类型:化简型;循环型;递推型.三、小结v要易求;易求.“反对幂三指”的顺序,前为u,后为dv.定积分的分部积分公式35两边同时对x求导,得分部积分解思考题1已知f(x)的一个原函数为因为所以36思考题2解37作业习题4.5(122页)38
