2011第5章线性参数的最小二乘法处理课件.ppt

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1、线性参数的最小二乘法处理最小二乘法原理正规方程精度估计组合测量的最小二乘法处理一、最小二乘法原理待测量待测量的估计值与待测量有函数关系的直接测量量直接测量量的估计值直接测量量的测量值待测量的数目直接测量量的数目一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理如果测量数据的测量误差是无偏的（即排除了系统误差），相互独立的，且服从正态分布。设标准差分别为：区域出现在相应真值附近内得概率分别为则测量数据一、最小二乘法原理根据概率乘法原理，各测量数据同时出现在相应区域内的概率应为待求量最可信赖值的确定，应使得同时出现在真值附近区域的概率P最大。要使P最大应满足一、最小二乘法原理上述条件中用残余

2、误差代替误差可以得到：引入权的符号p可得：在等精度测量中：则一、最小二乘法原理上式表明，测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和(在不等精度测量的情形中应为加权残余误差平方和)为最小的条件下求出，这就是最小二乘法原理。实质上，按最小二乘条件给出最终结果能充分地利用误差的抵偿作用，可以有效地减小随机误差的影响，因而所得结果具有最可信赖性。必须指出，上述最小二乘原理是在测量误差无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用。一、最小二乘法原理一般情况下，最小二乘法可以用于线性参数的处理，也可用于非线性参数的处理。由于测量的实际问题中大量的是属于线性的，而非线性参

3、数借助于级数展开的方法可以在某一区域近似地化成线性的形式。因此，线性参数的最小二乘法处理是最小二乘法理论所研究的基本内容。一、最小二乘法原理相应的估计量为：线性参数的测量方程一般为：一、最小二乘法原理残余误差方程式为：直接测量结果待求的被测量的估计值直接测量结果的残余误差残余误差方程的n×t个系数一、最小二乘法原理设有列向量和n×t阶矩阵n>t一、最小二乘法原理则线性参数的残余误差方程为则等精度测量时线性参数的残余误差方程为一、最小二乘法原理线性参数的不等精度测量还可以转化为等精度的形式，从而可以利用等精度测量时测量数据的最小二乘法处理的全部结果。一、最小二乘法原理不等精度测量的线性参数最小

4、二乘原理不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：权矩阵思路一：一、最小二乘法原理思路二：不等精度　　　等精度则有：二、正规方程为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目，即所得误差方程式的数目总是要多于未知数的数目。因而直接用一般解代数方程的方法是无法求解这些未知参数的。最小二乘法则可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组(其方程式数目正好等于未知数的个数)，从而可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程(或称为法方程)。二、正规方程线性参数的最小二乘法处理程序可归结为：首先根据具体问题列出误差方程式；再按最小二乘法原理，利用求极值的方法将误差方程转化为

5、正规方程；然后求解正规方程，得到待求的估计量；最后给出精度估计。对于非线性参数，可先将其线性化，然后按上述线性参数的最小二乘法处理程序去处理。二、正规方程线性残余误差方程式为：在等精度测量中，要求得待求量的估计值的最可信赖值必须满足的的条件为：二、正规方程令：二、正规方程二、正规方程令：二、正规方程二、正规方程二、正规方程二、正规方程令：二、正规方程即：二、正规方程即：主对角线分布着平方项系数，正数相对于主对角线对称分布的各系数两两相等二、正规方程二、正规方程二、正规方程二、正规方程令：例5-1已知任意温度t时的铜棒长度yt、0℃时的铜棒长度y0和铜的线膨胀系数α具有线性关系二、正规方程现测

6、得不同温度ti下，铜棒长度li如下表，试估计y0和α的最可信赖值。1234561020253040452000.362000.722000.802000.072001.482001.60解题步骤：分析、写出函数关系式列出误差方程：残余误差=测量值-估计值写出系数矩阵和测量值矩阵求出正规方程，求解方程二、正规方程分析、写出函数关系式令：则：列出误差方程二、正规方程写出系数矩阵和测量值矩阵求出正规方程解得：二、正规方程求出正规方程（矩阵形式）解得：二正规方程不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：整理得：二正规方程即不等精度的正规方程将　　　

7、　　代入上式，得（待测量Ｘ的无偏估计）二正规方程例5.2某测量过程有误差方程式及相应的标准差：试求的最可信赖值。解：首先确定各式的权二正规方程二正规方程令二正规方程非线性参数最小二乘处理的正规方程针对非线性函数其测量误差方程为令，现将函数在处展开，则有二正规方程将上述展开式代入误差方程，令则误差方程转化为线性方程组于是可解得，进而可得。近似值二正规方程为获得函数的展开式，必须首先确定1）直接测量2）通过部分方