第五章线性参数的最小二乘法处理ppt课件.ppt

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1、1第五章线性参数的最小二乘法与回归分析本章内容§5.1最小二乘原理§5.2正规方程§5.3精度估计§5.4组合测量的最小二乘法§5.5回归分析2第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.1最小二乘原理§5.1最小二乘原理最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学科领域得到广泛应用的数学工具。最小二乘法已经成为参数估计、数据处理、回归分析、经验公式拟合中必不可少的手段，并已形成统计推断的一种准则。第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.1最小二乘原理1、问题的引入有待测量（难以直接测量）：直接测量量：它们的关系（测量方程）：直接测量量Y的测量值：直接测量量Y的估计值：有待测量量

2、X的估计值：34第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.1最小二乘原理问题：如何根据测得值　　　　和测量方程，解得待测量的量X估计值　　　　　？测量方程现有n次测量，得到Y的n个测量值L直接测量量Y的测量值待测量的量X直接测量量Yn个方程解n个未知数X，可以直接求得估计值方程组有冗余，有利于减小随机误差，采用最小二乘原理求。讨论：最小二乘原理：Xi最可信赖的值,应使残余误差平方和最小。第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.1最小二乘原理52、最小二乘原理设直接测量量的估计值为，则有（Y的估计值y与X的估计值x的关系）由此得测量数据的残余误差（估计值y与测量值l的差）误差方

3、程式(也称残余误差方程，简称残差方程)第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.1最小二乘原理6若不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为，则出现在相应真值附近区域内的概率为由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率为要使P最大，应有最小第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.1最小二乘原理回顾：正态分布概率密度函数li出现在dδi区域内的概率7最小以残差的形式表示为最小等精度测量的方差σ2相等。所以等精度测量最小二乘原理：最小不等精度测量时，引入权pi最小第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.1最小二乘原理最小二乘原理以正态分布导出，其他分布也适用。等

4、精度测量的最小二乘原理不等精度测量的最小二乘原理83、等精度测量的线性参数最小二乘原理线性参数(Y与X呈线性关系)的测量方程和相应的估计量为误差方程第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.1最小二乘原理测量值估计值9令则误差方程的矩阵表达式为等精度测量最小二乘原理的矩阵形式(残差平方和为最小)第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.1最小二乘原理代入误差表达式10不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式思路一：利用权矩阵P权矩阵4、不等精度测量的线性参数最小二乘原理第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.1最小二乘原理11思路二：不等精度　　等精度则有：第五章线性参数的最小二乘

5、法与回归分析§5.1最小二乘原理用根号权乘以残差方程两边得到12第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.2正规方程§5.2正规方程正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组。§5.2.1等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程残差方差平方后，求偏导数，并令其为零13得正规方程特点相对于主对角线对称分布的各系数两两相等。由第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.2正规方程主对角线分布着平方项系数，正数；和上式平方后，求偏导，并令其为0（参考教材）1415看正规方程组中第r个方程等式左边展开即第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.2正规方程上式展开后，

6、合并，并且分别提出air括号中为υi所以仿此方法处理可得正规方程方程组正规方程的矩阵形式第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.2正规方程16将　　　　　代入到　　　　中，得（待测量Ｘ的无偏估计）令第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.2正规方程17已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系为。现测得不同温度下铜棒的长度，如下表。求　，的最可信赖值。i1234561020253040452000.362000.722000.82001.072001.482000.60解：1）列出误差方程令为两个待估参量，则误差方程为例题5.1第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.2正规方程

7、长度yt的测得值长度yt的估计值18按照最小二乘的矩阵形式计算则有因此拟合方程第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.2正规方程长度测量值本题就是6次试验c、d的系数，c前系数恒为1，d前系数就是ti19§5.2.2不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程仿此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程第五章线性参数的最小二乘法与回归分析§5.2正规方程回顾：等精度测量有正规方程写成矩阵形式不等精度的正规方程20将　　　　　代入上式，得（待测量Ｘ的无偏估计）第五章线性参数的最小二乘法与