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《第五章 线性参数的最小二乘法处理01》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第五章线性函数的最小二乘处理最小二乘原理应用时的条件是：函数关系确定已知、等精度、误差独立、无偏估计得到满足，在众多的N个测量方程中利用最小二乘原理求得t个（t＜／N）参数的最佳估计值。如前所叙，在随机因素作用下，测量次数较多时，计算的结果就会更精密，测量次数往往大于待求未知量的个数，因而出现N＞t的现象就成为自然而然的事情了。众所周知，当N＝t时可由线性代数知识求得一组唯一正确解。当N＞t时，代数解法则无能为力了。也许读者会提出另外一个问题：既然N＞t，可由N中取出t个方程来求解，而把（N-t）个方程弃掉，问题不就解决了吗？答
2、案是不行的。这样求解后的结果不是最佳值，有时会与最佳值离歧很大。最小二乘法是一种数学原理，高斯于1809年在他的名著《天体沿圆锥截面绕太阳运动的理论》一书中，发表了他发现的最小二乘原理并应用于测量之后，在许多科学领域及技术领域中得到越来越多地应用。5.1函数为直接测量值得线性组合5.1.1测量方程式函数中可能存在着多个待定参数，根据该函数关系可列出多个测量后的方程式，该方程式称作测量方程式。设含有t个待求参数Xj(j=1,2,…,t)的函数关系已知，表现为线性组合，即Xj是待定系数的真值，aj是在某具体测量条件下获得的直接测量值
3、，经N次测量（N>t）后，理应得到N个函数真关系式。为了表达更简洁，可将各方程中系数用aij(i=1,2,…,N;j=1,2,…,t)表示，上述方程可简写成量值Y经N次测量后的测量值用Mi表示，则上述方程变为测量方程式，又称测量条件方程，式中，aij及Mi是在某具体测量条件下的直接测量值，Mi含有误差，即Mi≠Yi。5.1.2剩余误差方程式若用同直接测量时一样，可将称作剩余误差。由此便可得到N个剩余误差方程式可以看出，剩余误差是各最可信赖值的函数，即5.1.3正规方程组现在以三个待求量x1,x2,x3为例，说明建立正规方程组的过
4、程，该计算方法和过程及结论，可推广到t个待求量中去。三个待求量的函数真关系为三个待求量的测量方程为三个待求量的剩余误差方程式为三个待求量剩余误差平方和方程式为三个待求量参数的剩余误差平方和是的函数。根据最小二乘原理可知，恰当地选择x1,x2,x3，使得，当上述条件得到满足后所求得之值才是x1,x2,x3的最可信赖值，才是寻求的值。这样，寻求最可信赖值的问题就转化为对Q求极小值的问题了，即应满足应当注意：一阶导数不是个具体的数值，它仍然是（）的函数；对Yi尽管测量Y10次、20次乃至N次，但求导后的方程式只剩下三个了，求导后的方程
5、组称作正规方程组、法方程组或标准方程组。本例中正规方程式共三个，待求量也是三个，可求得一组唯一正确解；在求得就不用计算了，可喜的是工程领域的函数驻点处都存在着一个极小值，这给计算带来很大方便。综上所叙，当N＞t时，；t个待求参数最可信赖值的解，是函数直接测量值Mj（j＝1，2，…，t）的剩余误差平方和为最小、是利用求导法、建立正规方程组（t´t；）后所求得之解。由此看来，根据测量方程组，建立正规方程组是最小二乘求解的关键。还须说明一点，最小二乘原理的应用并不需要预先知道与测量相联系的何种误差分布。过去文献中阐述最小二乘原理应用时
6、，曾要求误差要服从正态分布，这种论断产生的原因大概是大多数误差都服从正态分布。实际上最小二乘法并不要求误差一定要服从正态分布，只需其剩余误差平方和为最小就可以了。5.2正规方程组的建立含有t个待定参数的线性函数中，怎样建立正规方程组，其基本步骤可归纳如下。5.2.1根据测量结果列出测量方程组上式亦可简写为5.2.2根据测量方程组列出剩余误差方程组上式亦可简写为5.2.3列出剩佘误差平方和计算公式，利用求导法导出t´t阶正规方程组由求导法导出t´t阶正规方程组。根据最小二乘原理，测量结果应满足为满足Q=min条件，可对取一阶导数为
7、零，即经整理后可得到上式中等，是高斯书写符号，具体意义及运算规则为同理，下面的书写符号可理解为依据，可依次得到t´t阶方程组，即方程的个数恰好等于待求未知数的个数。可以看出其系数行列式必不为零，故存在一组确定的唯一解。不难看出其二阶导数恒为正值，即证明了确实是最小值。N´t阶系数矩阵（N´t），用A表示则应当注意，aij(i=1,2,…,N;j=1,2,…t)分别是N个误差方程中N´t个直接测量（严格可控）值。由此，误差方程又可表示为，即剩余误差平方和的矩阵形式，可表示为最小二乘原理就是使5.2.4正规方程组特点正规方程组中各元
8、素排列及位置时就能发现，该方程组具有下面三个特点：（1）正规方程组主对角线上分布着系数自身的平方项，如，因此，主对角线上的各系数的数值恒为正数；（2）主对角线是主对称线，以对角线为对称线对称的位置上分布着的系数值彼此之间两两相等，如等；（3）正规方程组内为t´t
