概率论第二章课件.ppt

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1、第一节随机变量第二节离散型随机变量的概率分布第三节随机变量的分布函数第四节连续型随机变量的概率密度第五节随机变量函数的分布第二章随机变量及其分布10/6/20211动机：将随机试验的结果数量化例1抛一枚硬币，观察正反面的出现情况，，如果我们引入记号：显然，该试验有两个可能的结果：第一节随机变量则，我们就可以用表示出现的是正面，而用表示出现的是反面。10/6/20212就是一个随机变量。定义设随机试验的样本空间为如果对于每一个都有一个实数与其对应，这样就得到一个定义在上的一个单值实函数我们称该函数为随机变量。一般的，随机变量用英文字母表后面的大写

2、字母或者希腊字母（可以带下标）表示。如等，都可以表示随机变量。10/6/20213引入随机变量以后,随机事件就可以用随机变量在某范围的取值来表示.随机变量的取值随试验的结果而定,因此试验之前,我们只知道它可能取值的范围,而不能预知它取什么值,由于试验的各个结果的出现有一定的概率,因此随机变量取各个值也有一定的概率.如果我们用表示某台电视机的寿命,并且规定寿命超过10000小时者为合格品,则该电视机为合格品这一事件就可以表示为如果用表示某位同学大学英语四级考试的成绩,则表示“该同学通过考试”这一事件，而表示“该同学成绩优秀”这一事件.10/6/2

3、0214第二节离散型随机变量及其分布律如果随机变量只取有限或可列无穷多个值，则称随机变量为离散型随机变量.对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？2）取任意可能值的概率是多少？设随机变量的可能取值为，且（1）则称（1）式为的概率分布或分布律.10/6/20215分布律（1）也常常写成如下的表格形式.显然有：或者也可以表示为10/6/20216例1掷一颗匀称的骰子，以表示出现的点数，求的分布律.解的可能取值为而由等可能性，它取每一个值的概率均为1/6，故其分布律为10/6/20217例２设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏灯,

4、每盏信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数（设各盏信号灯的工作是相互独立的），求其分布律。解以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为将代入，得10/6/20218下面，重点介绍三种离散型随机变量的概率分布。（一）0-1分布若的分布律为或者01则称随机变量服从参数为p的0-1分布.如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功的概率为p，则成功的次数服从参数为p的0-1分布。10/6/20219（二）二项分布(BinomialDistribution)若随机变量的分布律为：则称随机变量服从

5、参数为n,p的二项分布，二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中成功的概率均为p，则在n重伯努利试验中成功的次数服从参数为n,p的二项分布。注意，当n=1时二项分布就是0-1分布。记为或10/6/202110例3设某批产品共有N件，其中有M件次品。按如下两种方式从中任选n件产品:(1)一次次从中取出产品，每次取一件，并在观察后放回;(2)从中一次性地任选n件。设取得的次品数为，试分别就所述的两种情形，求的分布律。解(1)由于是有放回的抽取，所以每次抽取时抽到一件次品的概率均为M/N，所以故有10/6/202111(2)在N件产品中任选n件，所

6、有可能的取法有种，而其中恰好有k件次品的取法共有种，所以有此时我们称服从超几何分布。10/6/202112例4某人进行射击，设每次击中的概率均为0.02,独立射击400次，试求至少击中两次的概率。解将每次射击看成是一次试验,设击中的次数为，则所以有直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算公式。我们先引入一个重要的分布。10/6/202113(三)泊松分布(PoissonDistribution)如果随机变量的分布律为：则称随机变量服从参数为的泊松分布。记为实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从参数为0.61的泊松分布；2）1500年到19

7、32年之间每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从参数为0.69的泊松分布。10/6/202114泊松分布与二项分布之间有密切的联系，这一点由下面的泊松定理所阐述。泊松定理设随机变量且则有证略因此,由定理,当n很大p很小时，就有10/6/202115泊松定理表明,当n很大(不小于20)p很小(不大于0.05)时,二项分布可近似的用泊松分布来表示.这实际上也就表明了大量实验中稀有事件发生的次数可以用泊松分布来描述.而泊松分布的值可以通过查表得到.10/6/202116续例4现在我们运用泊松定理来做近似计算,由于此时故,于是因此该例题表明,即

8、使是一个命中率很低的射手,在大量的射击中至少击中两次或两次以上概率还是很大的.因此在大数次的试验中,不能忽略小概率事件.10/6/202117例5为了