等比数列的性质.pdf

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1、.教学内容【知识结构】1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公a比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：n=q（q≠0）an11“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)a｛a｝成等比数列n1=q（nN,q≠0nan2隐含：任一项a0且q0n“a≠0”是数列｛a｝成等比数列的必要非充分条件．nn3q=1时，{a}为常数n2.等比数列的通项公式1:aaqn1(aq0)n113.等比数列的通项公式2:aaq

2、m1(aq0)nm14．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则GbG2abGab，aG反之，若G2=ab,则Gb，即a,G,b成等比数列aG∴a,G,b成等比数列G2=ab（a·b≠0）6．等比数列的性质：若m+n=p+k，则aaaamnpk可编辑.在等比数列中，m+n=p+q，a,a,a,a有什么关系呢？mnpk由定

3、义得：aaqm1aaqn1aaqp1aaqk1m1n1p1k1aaa2qmn2，aaa2qpk2mn1pk1则aaaamnpk7．等比数列的增减性：当q>1,a>0或01,a<0,或00时,{a}是递减数列;当q=1时,{a}11nn是常数列;当q<0时,{a}是摆动数列;n【热身练习】求下列各等比数列的通项公式：an1.a=2,a=82.a=5,且2a=3a3.a=5,且n1131n1n1an1n解：1.aaq2

4、q24q231a(2)2n12n或a(2)(2)n1(2)nnna332.qn1又：a5a5()n1a21n2nana1a2an13.n12,3,,nan1a2a3ann12n115以上各式相乘得：aann1n可编辑.【例题精讲】例1已知a,b是项数相同的等比数列，求证ab是等比数列.nnnn证明：设数列a的首项是a，公比为q;b的首项为b，公比为q，那n11n12么数列ab的第n项与第n+1项分别为：nnaqn1

5、bqn1与aqnbqn即为ab(qq)n1与ab(qq)n1112111211121112abab(qq)nn1n11112qq.abab(qq)n112nn1112它是一个与n无关的常数，所以ab是一个以q1q2为公比的等比数列.nn例2已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，abcabbcca求证：,,3abc也成等比数列33证明：由题设：b2=ac得：abcabcabb2bcabbcca3abc3b3()23333abcabbcca∴,

6、,3abc也成等比数列33可编辑.例3(1)已知{a}是等比数列，且a0,aa2aaaa25,求aann24354635ac(2)a≠c,三数a,1,c成等差数列，a2,1,c2成等比数列，求a2c2解：(1)∵{a}是等比数列，n∴aa＋2aa＋aa＝(a＋a)2＝25,24354635又a>0,∴a＋a＝5;n35(2)∵a,1,c成等差数列,∴a＋c＝2,又a2,1,c2成等比数列,∴a2c2＝1,有ac＝1或ac＝－1,当ac＝1时,由a＋c＝2得a＝1,c＝1,与a≠c矛盾，∴ac＝－1,a2c2

7、(ac)22ac6ac1∴.a2c23012n1例4已知无穷数列10,10,10,10,，5555求证：（1）这个数列成等比数列1（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，10（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中n1a1051证：（1）n105（常数）∴该数列成等比数列an2n1105n1a10511（2）n101，即：aaan410n10n5n5105可编辑.p1q1pq2（3）aa105105105，∵p,qN，∴pq2pq∴pq11且p

8、q1N，pq2n1∴105105，（第pq1项）例5设a,b,c,d均为非零实数，a2b2d22bacdb2c20，求证：a,b,c成等比数列且公比为d证一：关于d的二次方程a2b2d22bacdb2c20有实根，∴