平新乔课后习题详解(第10讲--策略性博弈与纳什均衡).pdf

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1、平新乔《微观经济学十八讲》第10讲策略性博弈与纳什均衡1．假设厂商A与厂商B的平均成本与边际成本都是常数，MC10，MC8，对厂AB商产出的需求函数是Q50020pD（1）如果厂商进行Bertrand竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？（2）每个厂商的利润分别为多少？（3）这个均衡是帕累托有效吗？解：（1）如果厂商进行Bertrand竞争，纳什均衡下的市场价格是p10，p10，BA其中是一个极小的正数。理由如下：假设均衡时厂商A和B对产品的定价分别为p和p，那么必有p10，p8，即厂AB

2、AB商的价格一定要高于产品的平均成本。其次，达到均衡时，p和p都不会严格大于10。否AB则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。所以均衡价格一定满足p10，p10。但是由于p的下限也是10，所以ABA均衡时p10。给定p10，厂商B的最优选择是令p10，这里是一个介于0到2AAB之间的正数，这时厂商B可以获得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价格为p10，Ap10。B（2）由于厂商A的价格严格高于厂商B的价格，所以厂商A的销售量为零

3、，从而利润也是零。下面来确定厂商B的销售量，此时厂商B是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：maxpqcq①0其中p10，q5002010，把这两个式子代入①式中，得到：max10850020100解得0，由于必须严格大于零，这就意味着可以取一个任意小的正数，所以厂商B的利润为：500201010。（3）这个结果不是帕累托有效的。因为厂商B的产品的价格高于它的边际成本，所以如果厂商B和消费者可以为额外1单位的产品协

4、商一个介于8到10之间的价格，那么厂商B的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A的剩余（因为A的利润还是零）。2．（单项选择）在下面的支付矩阵（表10-1）中，第一个数表示A的支付水平，第二个数表示B的支付水平，a、b、c、d是正的常数。如果A选择“下”而B选择“右”，那么：表10-1博弈的支付矩阵（1）b1且d1（2）c1且b1（3）b1且cd（4）bc且d1（5）a1且bd【答案】（3）【分析】由于（下，右）是均衡策略，所以给定B选择“右”，“下”是A的最优选择，这

5、就意味着cd；同样的，给定A选择“下”，“右”也是B的最优选择，这就意味着b1。3．史密斯与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支付给斯密3美元。如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。（1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。1（2）如果每一个局中人以的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有3一纳什均衡。这个对策的值是什么？解：（1）根据题意，构造如下的支付矩阵（表10-2）（其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付）：表10-

6、2玩数字匹配游戏的支付矩阵首先由史密斯来选择，假设史密斯选择1，并期望约翰选择1，从而使自己得到3的支付。但是，如果史密斯选择1，则约翰一定会选择2或者3，从而使自己得到1，而不是-3。假设约翰选择2，他期望史密斯选择1或者3，以使得自己得到1，而实际上史密斯会选择2，使得约翰得到-3，等等。不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。因此，这个对策没有一个纯策略纳什均衡。（2）假设均衡时，约翰选择1、2、3的概率分别为x、x和1xx，那么此时史密1212斯在选择1、2、3之间是没有区别的

7、，即：3xx1xxx3x1xxxx31xx121212121212从而解得1xx1xx12123类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3。4．假定世界上氪的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000克。世界对氪的需求是Q10001000p其中p是每克的价格。（1）如果所有拥有者合谋控制氪的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量是多少？（2）为什么（1）中计算的价格是不稳定的？（3）通过改变要求保持市

8、场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时，氪的价格是多少？解：（1）所有拥有者合谋控制氪的价格，此时总的利润函数为：11QQ1000利润最大化的一阶条件为：d11Q0dQ5001解得总供应量为Q500（克）。此时p1Q0.5，每个厂商的供应量为1000500/2025（克）。（2）对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为25克，那么他的利润