高等数学B：9微分方程.ppt

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1、(3)微分方程.判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程内容：一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法(2)交换角色四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,贝努利方程一．求下列微分方程的通解()()1.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出二.一阶方程的应用2.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵3.设F(x)＝f(x

2、)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是7.设对任意的恒有二阶微分方程内容小结1.可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令2.二阶常系数方程特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.齐次解法二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,①—待定系数法非齐次为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设

3、特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为属于贝努里方程四.二阶微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为4.已知二阶常微分方程的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为6.的通解.因此特解为所求通解为7.8.10.设函数且利用公式可求出二阶可导，11.求微分方程在原点处与直线相切的特解