高等数学(下)微分方程.ppt

《高等数学(下)微分方程.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、微分方程第十二章—积分问题—微分方程问题推广一阶微分方程高阶微分方程微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第十二章引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为即求s=s(

2、t).常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.线性：未知函数及其各阶导数都是一次的。第二节第十二章一阶微分方程一、可分离变量微分

3、方程二、齐次方程三、全微分方程（数一）四、一阶线性微分方程一、可分离变量微分方程转化解分离变量方程可分离变量方程分离变量方程的解法:设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是

4、同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:练习:解法1分离变量即(C<0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:二、齐次方程一、齐次方程二、可化为齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程

5、的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.(h,k为待二、可化为齐次方程的方程(数一)作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程例4.求解解:令得再令Y＝Xu,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?

6、提示:三、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程;对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例1.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为例2、解：例3.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以

7、为因变量,y为自变量的一阶线性方程例4、解微分方程解：方程变形为令方程化为二、伯努利(Bernoulli)方程（数一）伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)例4.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程1.求一连续可导函数使其满足

8、下列方程:提示:令则有利用公式可求出2.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有2)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为四、全微分方程（数一）判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为u(x,y)=C.一、全微分方程则