资源描述：
《高等数学B教学课件：一阶微分方程.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1转化4.2一阶微分方程解分离变量方程4.2.1可分离变量方程分离变量方程的解法:积分例1．求下列微分方程的通解4例2.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)5例3.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为7形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:8例1.解微分方程解:代入原方程得分离
2、变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)9例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.11例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:12练习:解法1分离变量即(C<0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:13(h,k为待*4、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),14求出其解后,即得原方程的解.原方程可
3、化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程15例4.求解解:令得再令Y＝Xu,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:16得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:作业习题一（P214）2（1）（2）（5）；4；5；7（2）（3）。习题二（P219）1（2）（4）；2（1）（3）；3；4（1）（3）（4）；5（3）；8。做书上18例1.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规
4、律为然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原19例2.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时20例3.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变解:由水力学知,水从孔口流出的流量为即求水小孔横截面积化规律.流
5、量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由h降到21对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:22两端积分,得利用初始条件,得因此容器内水面高度h与时间t有下列关系:23可得OMA=OAM=例4.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:24利用曲线的对称性,不妨设
6、y>0,积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)25顶到底的距离为h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得
