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1、的微分方程,称为可分离变量的微分方程.2.解法1.定义分离变量6.2.1可分离变量的微分方程6.2一阶微分方程或可化为形如1求得积分后,即得原微分方程的通解两端积分注意:如果则常函数也是方程的一个解.这样的解并没有包含在通解之中,称之为奇解.2解分离变量得两端积分得从而故原方程的通解为而也是方程的一个解.例求微分方程的通解.3例求方程的通解.解分离变量两端积分为方程的通解.C为正常数.多数情况下，微分方程的解只能用隐函数的形式给出，称之为方程的隐式解。4练习解通解为C为任意常数.P181(1)5解先求
2、其通解,分离变量,得两端积分,得例求解定解问题(初值问题):整理得原方程的通解为6注意:得特解得特解得于是所求定解问题的特解为7的一阶微分方程,称为齐次方程.1.定义6.2.2齐次方程例如,方程可化成是齐次方程.可化为形如8分离变量,得两端积分2.解法作变量代换代入原方程,得求得积分后再将代入,即得原方程的通解.化为可分离变量的方程.则9解原方程可化为是齐次方程.代入原方程得两端积分,得例求微分方程的通解.10解得原方程的通解为即也是原方程的解,将代入,及例解方程11分离变量,得两端积分将代入，得原方
3、程的通解代入原方程得或12解练习13求微分方程的通解微分方程的通解为解练习14解方程解两边积分练习15即得而，故原方程的通解为16称为一阶线性非齐次微分方程.称为一阶线性齐次微分方程.6.2.3一阶线性微分方程1.定义未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程通常称此齐次方程是上述非齐次方程所对应的齐次方程．一阶线性微分方程的标准形式线性一阶17容易验证：解的结构：一、如果是非齐次方程的解,则它们的差是对应齐次方程的解。结论:非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解.二、如果分别是非
4、齐次方程和齐次方程的解,则是非齐次方程的解.18齐次方程的通解为(1)先解线性齐次方程使用分离变量法2.解法积分,得19(2)再解线性非齐次方程设非齐次方程通解形式为把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,称为常数变易法.待定函数20积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为或非齐次方程的一个特解对应齐次方程通解21解此方程为一阶线性方程(1)先求对应的齐次方程分离变量为积分,得对应的齐次方程通解为例求微分方程的通解.22（2）设原非齐次方程通解为代入原方程,得积分,得故,原方程通解为23解法1例求解微
5、分方程的通解先求对应齐次方程的通解1.2.24例求解微分方程的通解解法2这是一阶线性非齐次方程,其中25解例一阶线性非齐次方程26练习解初值问题:解将方程写为由初始条件特解一阶非齐次线性方程27例解方程若将方程写成则它既不是线性方程,又不能分离变量.若将方程写成以x为未知函数,即一阶线性非齐次方程.分析y为自变量的28此外,y=1也是原方程的解.解29解原方程可化为设原方程通解为即例求微分方程的通解.30解这是典型的一阶线性方程.分析由通解公式有练习31的微分方程,称为伯努利方程.*6.2.4伯努利方
6、程1.定义2.解法通过变量代换化为线性微分方程.形如方程的两边除得则代入原方程整理得即得伯努利方程的通解.它是一阶线性方程,求出其通解,再将代入,32解此方程是伯努利方程,其中原方程化为其通解为故,原方程的通解为例求微分方程的通解.33作业习题6.2(18页)1.(2)(3)(4)(5)2.(1)(4)4.(2)5.(1)(2)(4).34
