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《高等数学一阶微分方程.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一讲一阶方程方法:问题:求解四种类型的一阶方程:(2)一阶线性方程(4)贝努里方程(3)齐次型方程(1)可分离变量方程(1)按照四种特定方程的特定方法求解方程(2)利用变量代换将方程化为四种特定方程进行求解例1(练习二十一/二(2))以作为通解,构造微分方程1°方程解的概念解由两边求导得再两边求导得(1)由于中独立常数的个数与其满足的方程(1)的阶数相同,所以所求方程为2°方程的求解例2求方程的通解解原方程可变形为令代入方程有(可分离变量方程)解得所以方程的通解例3方程的通解是(A)(B)(C)(D)解原方程可变形为(关于x的一阶线性方程)所以
2、通解例4(练习二十一/七)求方程的通解解原方程可变形为(关于x的伯努里方程)令所以通解例5求方程的通解解原方程可变形为(关于y的一阶线性方程)例6求方程的通解原方程可变形为解(关于y的伯努里方程)通解:令有通解例7求方程满足的特解解原方程可变形为积分得通解由所以特解:3°利用变量代换方法求解方程解例8求方程的通解原方程可变形为令有所以通解:例9求方程的通解解原方程可变形为令,则代入方程有解得所以方程的通解:例10(练习二十一/十一)利用换元法将方程化成以ρ为未知函数,θ为自变量的新方程,并求原方程满足初始条件y(1)=0的解解因为取微分得又从方程
3、得从而有有初始条件:(x,y)=(0,1)解得所以方程的解为4°其他问题例11求与曲线族正交的曲线族方程解设所求曲线为,其与的交点为M(x,y)在M点处的切线斜率:在M点处的切线斜率:由两曲线在M处正交所求的曲线族方程为例12(练习二十一/十二)若函数f(x)在上有界,常数k>0,证明方程:的任一特解在上都有界解由于初值问题的解为设是方程的任一特解则y=y(x)满足:y=y(x)在[0,+)上都有界例13(练习二十一/十五)求微分方程有水平渐近线的一条积分曲线解方程的通解又存在c=0,所求积分曲线5°应用问题例14设可导函数f(x)对任意x
4、,y恒有且求f(x)解令得f(x)满足:解得例15(练习二十三/五)已知函数y=f(x)的图形是经过P(0,1)和Q(1,0)两点的一段向上凸的曲线弧,M(x,y)为该曲线上任一点,弧与弦之间的面积为,求f(x)解设曲线的方程为y=f(x),由条件知两边求导有即方程的通解:由y(1)=0得c=11所以所求曲方程为例16汽艇以12km/h的速度在静水中行驶,现突然关闭发动机,让它在水中作直线滑行,若已知经过20秒后,速度降为6km/h,而水对汽艇的阻力与汽艇的速度成正比,求(1)关闭发动机40秒后,汽艇的速度(2)关闭发动机后,汽艇在1分钟内滑行了
5、多远?它最多能滑行多远?解(1)设时刻t,汽艇的滑行距离为s=s(t),速度为v(t)汽艇的质量为m,则(米/秒)由又(米/秒)(2)由积分得(米)汽艇滑行的最远距离:(米)例17求(0,+)上的连续函数f(x),使,且对任意正数u,v总成立:解设,则F(x)满足:F(x)满足:解得
