高等数学B：10_2第二型曲线积分.doc

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1、§10.2第二型曲线积分10.2.1第二型曲线积分的概念一、引例：求变力沿曲线所作的功。设有一空间力场，连续。一质点在力场的作用下，沿空间光滑曲线从移到，求力场所作的功。⌒⌒分割：在曲线上依次取点，把曲线段任意分成有⌒向小弧段，第弧的长度记为。近似：，则质点沿曲线从点移动到时，力场所作的功的近似值为其中是质点在点处沿曲线的单位切线向量。求和：质点沿曲线从点移动到时，力场所作的功的近似值为，取极限：令，则力场所作的功为。二、第二型曲线积分的定义6⌒设是向量场所在空间中一条以，的有向光滑曲线弧。依次用分点，把任意分成有向小弧段⌒，的长度记为，令，，作和式，其中是上点处相应于

2、所给方向的单位切线向量。如果不论对怎样分割，也不论点怎样选取，当时，上述和式恒有同一极限，则称此极限为向量值函数（或向量场）沿有向曲线的第二型曲线积分，记作，即。引例中力场所作的功可以表示为。设向量值函数，∵，∴。∴第二型曲线积分也可记作，上式是第二型曲线积分的坐标形式，因此第二型曲线积分也叫做对坐标的曲线积分。通常将记为，即，称为弧长向量微元。于是第二型曲线积分的向量形式为。若为平面有向光滑曲线弧，向量值函数，则有。6三、第二型曲线积分的性质设，，（1）线性性质设为常数，则。（2）对积分弧段的可加性若曲线弧由与首尾相接而成，则；（3）方向性若是与曲线方向相反的有向曲线

3、弧，则。10．2．2第二型曲线积分的计算定理设有向光滑曲线弧的参数方程为，，，曲线的起点对应，终点对应，当单调地由时，动点描出由点到点的曲线弧。又设向量值函数在上连续，则。①注：（1）当是平面曲线，其参数方程为，时，则有。②（2）若平面曲线由直角坐标方程，给出，，，则有。③公式①②③中定积分的下限、上限分别为对应于有向曲线弧6的起点、终点的参数值，下限不一定小于上限。例1．计算，其中为抛物线上从点到点的一段弧。解：方法1：将所给积分化为对的定积来计算。∵不是单值函数，∴要把分成和两部分。在上，，从1变到0；在上，，从0变到-1，∴。方法2：将所给积分化为对的定积来计算。

4、，从-1变到1，∴。例2．计算曲线积分，路径是（1）圆弧；（2）折线。解：（1）圆弧的参数方程为，（），（2）线段的方程为，从1变到0，；线段的方程为，从0变到1，；。从例2看出，虽然沿不同路径，但曲线积分值可以相等。6例3．计算曲线积分，其中积分路径为（1）在椭圆上，从经第一、二、三象限到点；（2）在直线上，从点到点。解：（1）椭圆的参数方程为，且起点A对应的参数，终点B对应的参数，∴。（2）线段AB的方程为：，起点A对应于，终点B对应于，，。从例3看出，虽然两个曲线积分的被积函数相同，起点和终点也相同，但沿不同路径得出的值并不相等。例4．计算曲线积分，是从点到的直线

5、段。解：∵直线AB的点向式方程为，∴参数式方程为，起点A对应参数、终点B对应参数。∴。6例4．一力场的力的大小与作用点到轴的距离成反比，方向是垂直地指向轴，试求当质点沿着平面内的一个单位圆周（圆心为）上从点经第一卦限移动到点时，场力所作的功。解：设力场中任一点处的力为，则P设点在平面上的投影为，则与力的方向相同。∵，∴，∴，，，有向曲线的参数方程为，起点对应参数，终点对应参数，∴。三、两类曲线积分之间的联系∵单位切向量，∴，，。∴。其中是点处对于所给方向的单位切向量的方向余弦。6