高等数学B：8_1多元函数概念.doc

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1、§8.1多元函数概念8.1．1n维欧几里得空间的简单知识（一）n维欧几里得空间数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线。在平面上引入直角坐标系后，平面上的点与有序二元数组一一对应，从而有序二元数组全体表示平面上一切点的集合，即平面。在空间引入直角坐标系后，空间的点与有序三元数组一一对应，从而有序三元数组全体表示平面上一切点的集合，即空间。设为取定的一个正整数，我们称有序元数组的全体为n维空间，而每个有序元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标。维空间记为。。即，，中

2、两点，间的距离规定为，记为，即。可以证明距离满足下列性质：（1）非负性，的充要条件是；（2）对称性；（3）三角形不等式。9定义了距离之后的n维空间称为n维欧几里得空间。（二）邻域设点，，点的邻域：；点的去心邻域：。在中，就是平面上以点为中心、为半径的圆的内部的点的全体，即E边界点外点内点若不需要强调邻域半径，则用表示点的邻域，点的去心邻域，记为。（三）开集、闭集、区域设点集，，。（1）内点：若，则称是内点。（2）外点：若，则称是外点。（3）边界点：若的任何邻域中既含有点，又含有非点，则称是边界点。的边界点的

3、全体称为边界。（4）有界集与无界集：如果存在原点的某个邻域，使，则称为有界集，否则称为无界集。（5）开集：如果点集的点都是内点，则称为开集。（6）聚点：如果在的任一邻域中至少含有的一个异于的点，则称是的聚点。9（7）闭集：若的所有聚点都在内，则称是闭集。（8）连通的：设是一个开集，如果对于内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于，则称开集是连通的。（9）区域（或开区域）：连通的开集称为区域（或开区域）。（10）闭区域：开区域连同它的边界一起，称为闭区域。（11）区域的直径：称为集合的直径。例如：

4、①点集中每一个点都是的内点；的边界是和；是有界开区域。②是有界闭区域。③是无界开区域。8.1．2的映射、n元函数与向量值函数一、的映射定义：设点集，如果存在一个对应法则，对，有唯一的元素与对应，则称是到的映射，记为：，。称为的定义域，称为的值域。二、元函数、向量值函数当时，：，，称是元函数(或称元数量值函数)。若，称为二元函数，简记为；若，称为三元函数，简记为。当时，与分别为、向量，9（），于是也可用坐标表示为：，，，。并称是的第分量。将记为，由于在点的值是一个向量，故把的映射称为向量值函数。例1．确定并画

5、出下列函数的定义域D。（1）解：，∴函数的定义域为，是无界区域。画图时介绍“以点示面法”。（2）解：∴定义域为。例4．设，求。解：，，，∴。9三、二元函数的几何意义设函数的定义域为，，对应的函数值为，于是有序实数组确定了空间的一点。当遍取上的一切点时，得到一个空间点集，这个点集称为函数的图形。通常二元函数的图形是一张空间曲面。例如：线性函数的图形是一张平面。函数的图形是上半球面。函数的图形是旋转抛物面。§8．2多元函数的极限与连续8．2．1多元函数的极限先讨论二元函数当（或当）时的极限。，即。定义1设函数在

6、点集上有定义，是聚点，一个定数。若，时，总有成立，则称函数当（或当）时的极限，记作或。二元函数的极限称为二重极限。9例3．设，求证证明：∵，可见，，取，则当时，总有成立，　　　∴注意：所谓二重极限存在，是指点以任何方式趋向于时，函数都无限接近于。因此以某一特殊方式，例如，沿一条定直线或沿一条定曲线趋向于时，即使函数无限趋向于某一确定值，也不能断定函数的极限存在。但如果点沿不同路径趋向于时，函数趋向于不同的值，那么就可断定函数的极限不存在。例6．考察函数在点是否存在极限？解：（1）当点沿轴趋于点时，即当，时，

7、有，（2）当点沿轴趋于点时，即当，时，有，（3）当点沿直线趋于点（0，0）时，即当，时有9，其值随而异，即随路径而异，因此不存在。关于二元函数的极限概念，可相应地推广到元函数即上去。8．2．2多元函数的连续性1．二元函数在点连续的定义定义3设函数的定义域，是聚点。若或。则称函数在点处连续。若函数在点处不连续，则点称为函数的间断点。若在开区域（或闭区域）内某些孤立点，或者沿内某些曲线，函数没有定义，但在内其余部分，都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点都是函数的间断点。例如函数的间断点是圆周上的点。函数的间

8、断点是。2．函数在区域D上的连续性如果函数在区域D上任意一点都连续，则称在区域D上连续。9二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。3．二元函数和、差、积、商的连续性和二元复合函数的连续性二元连续函数的和、差、积、商（在分母不为零处）均为连续函数；二元连续函数的复合函数也是连续函数。4．二元初等函数由自变量，常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和复合步骤所构成的，并能用一个解析式子所表示的函数称为二元初