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1、推广第八章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第八章第一节一、平面点集、n维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1、平面点集(2)平面点集的定义：坐标平面上具有某种性质的点的集合。(1)坐标平面：二维坐标系的平面常称为坐标平面。可表示为：问题：什么是邻域？回忆2.邻域推广一下：点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以
2、互相包含.3.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.(2)聚点若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.所有聚点所成的点集成为E的导集.（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点．（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(
3、0,0)是聚点但不属于集合．而边界上的点都是聚点也都属于集合．孤立点：若A∈E，且存在δ>0，使得则称点A为集E的孤立点E的内部是什么？边界？聚点？孤立点？思考D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;例如，在平面上开区域闭区域整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定
4、点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无4.n维空间实数x一一对应数轴点.数组(x,y)实数全体表示直线(一维空间)一一对应平面点(x,y)全体表示平面(二维空间)数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三维空间)推广：n维数组(x1,x2,…,xn)全体称为n维空间，记为回忆n元有序数组的全体称为n维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.的距离记作中点a的邻域为规定为与零元O的距离为二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦
5、公式1.二元函数点集D---定义域，---值域.x、y---自变量，z---因变量.与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.定义.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作2.多元函数例求的定义域．解所求定义域为3.二元函数的图形（如下页图）设函数),(yxfz=的定义域为D，对于任意取定的DyxPÎ),(，对应的函数值为),(yxfz=.以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当),(yx取遍D上一切点时
6、，得一个空间点集}),(),,(
7、),,{(DyxyxfzzyxÎ=，这个点集称为二元函数的图形.二元函数的图形通常是一张曲面.例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:三、多元函数的极限定义.设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数,总存在正数,切二元函数的极限几点说明：（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（4）二重极限的几何意义：>0，P0的去心邻域ºU(P0,)。在ºU(P0,)内，函数的图形总在平面及之间。例1.设求证：证:故总有要证另解解:设P(x,
8、y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例2.讨论函数仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例2知它在(0,0)点二重极限不存在.练习求解14/24解其值随k的不同而变化，故此极限不存在．确定二重极限不存在的方法：多元函数的极限不存在.“无穷多个方向”不等于“任意方向”.可利用方向性来判别例求解似曾相识例解另解四、多元函数的连续性定义.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数
