高等数学教案ch81多元函数的基本概念

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1、§8.1多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1．平面点集由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x,y)的全体,即R2=R´R={(x,y)

2、x,yÎR}就表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)

3、(x,y)具有性质P}.例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)

4、x2+y2

5、OP

6、表

7、示点P到原点O的距离,那么集合C可表成C={P

8、

9、OP

10、0为半径的圆的内部的点P(x,y)的全体.点P0的去心d邻域,记作,即.注:如果不需要强调邻域的半径d,则用U(P0)表示点P0的某个邻域,点P0的去心邻域记作.点与点集之间的关系:任意一点PÎR2与任意一个点集EÌR2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点:如果存在点P的某一

11、邻域U(P),使得U(P)ÌE,则称P为E的内点;(2)外点:如果存在点P的某个邻域U(P),使得U(P)ÇE=Æ,则称P为E的外点;(3)边界点:如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则称P点为E的边点.E的边界点的全体,称为E的边界,记作¶E.第8页共8页E的内点必属于E;E的外点必定不属于E;而E的边界点可能属于E,也可能不属于E.聚点:如果对于任意给定的d>0,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.由聚点的定义可知,点集E的聚点P本身,可以属于E,也可能不属于E.例如,设平面点集E={(x,y)

12、1

13、x,y)都是E的内点;满足x2+y2=1的一切点(x,y)都是E的边界点,它们都不属于E;满足x2+y2=2的一切点(x,y)也是E的边界点,它们都属于E;点集E以及它的界边¶E上的一切点都是E的聚点.开集:如果点集E的点都是内点,则称E为开集.闭集:如果点集的余集Ec为开集,则称E为闭集.开集的例子:E={(x,y)

14、1

15、1£x2+y2£2}.集合{(x,y)

16、1

17、例如E={(x,y)

18、1

19、1£x2+y2£2}.有界集:对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得EÌU(O,r),其中O是坐标原点,则称E为有界点集.无界集:一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集.例如,集合{(x,y)

20、1£x2+y2£2}是有界闭区域;集合{(x,y)

21、x+y>1}是无界开区域;集合{(x,y)

22、x+y³1}是无界闭区域.2.n维空间设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序数组(x1,x2,×××,xn)的全体所构成的集合,即Rn=R´R´×××´R={(x1,

23、x2,×××,xn)

24、xiÎR,i=1,2,×××,n}.Rn中的元素(x1,x2,×××,xn)有时也用单个字母x来表示,即x=(x1,x2,×××,xn).当所有的xi(i=1,2,×××,n)都为零时,称这样的元素为Rn中的零元,记为0或O.在解析几何中,通过直角坐标,R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应,因而Rn中的元素x=(x1,x2,×××,xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量,xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地,Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量.为了在集合Rn中的元素之间建立联系,在Rn中定义线性运算

25、如下:第8页共8页设x=(x1,x2,×××,xn),y=(y1,y2,×××,yn)为Rn中任意两个元素,lÎR,规定x+y=(x1+y1,x2+y2,×××,xn+yn),lx=(lx1,lx2,×××,lxn).这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间.Rn中点x=(x1,x2,×××,xn)和点y=(y1,y2,×××,yn)间的距离,记作r(x,y),规定.显然,n=1,2,3时,上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至.Rn中