高等数学-多元函数的基本概念

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1、推广第九章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念第九章多元函数微分法及其应用1.邻域一、区域第一节多元函数的基本概念2.平面区域连通的开集称为区域或开区域．例如，即为开集．例如，即为开集．例如，即为闭区域．其中O为坐标原点，则称E为有界集.不是有界集的集合称为无界集.有界闭区域；无界开区域．例如，对于平面点集E，如果存在某一正数r,使得3.聚点1)内点一定是聚点；说明：2)边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．3)点集E的聚点可以属

2、于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点又如,边界上但不属于集合．的点都是聚点也都属于集合．4.n维空间1)n维空间的记号为说明：2)n维空间中两点间距离公式:设两点为则3）n维空间中邻域、区域、内点、边界点、聚点等概念也可类似定义．例如邻域：二、多元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．第一节多元函数的基本概念例1求的定义域．解所求定义域为二元函数的图形二元函数的图形通常是一张曲面.例如,图形如右图.例如,右图球面.单值分支:三、多元函数的极限也记为第一节多元函数的基本概念则称A为函数当，时的极限，都有成立，使得对于适合不等式的一切点P（x,y），是其聚点

3、，总存在正数定义2的定义域为，设函数，如果对于任意给定的正数，或或记为说明：1）定义中的方式是任意的；2）二元函数的极限也叫二重极限；4）多元函数的极限运算法则与一元函数类似．3）以上关于二元函数的极限概念可以推广到n元函数即上去．例2求证证当时，原结论成立．例3求极限解其中例4证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：四、多元函数的连续性定义3说明：如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上连续.定义4例5讨论函数在(0,0)处的连续性．解取故函数在(0,0)处连续.当时例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，

4、极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．1）最大值和最小值定理2）介值定理1）一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的函数时，他们在各自的定义域内是连续的.几点补充说明2）由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数，且一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．这里的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域

5、．3）如果f(P)是初等函数，是f(P)定义域内的点，则有例７解内容小结1.区域邻域:区域连通的开集2.多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续1.设求解法1令思考与练习1.设求解法2令即2.是否存在？解利用所以极限不存在.3.证明在全平面连续.证处，连续.故函数在全平面连续.由夹逼准则得为初等函数,故又解不能.例取但是不存在.原因为若取4.若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定？