量子力学研究方法.pdf

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1、IntroductiontotheMethodofQuantumMechanics量子力學的處理方法薛丁格理論(TheSchrodingerTheory)•QuantumMechanics(1925)Schrodinger微分方程(differentialequation)Heisenberg矩陣(matrix)•如何在平面座標上表示出一個複數?iq虛數軸+iqe=cosqisinqAe=A(cosq+isinq)(Euler’sidentity)(Asinq)AAeiq=A(cosqisinq)q實數軸-qcomplexconjugate:(A

2、cosq)(Ae+iq)*=Ae-iq(Ae+iq)*=Ae-iq=複數平面A(cosq-isinq)•Ae+i(kx–wt)=A[cos(kx–wt)+isin(kx–wt)]freeparticlewavefunction,Y(x,t)•Ae+i(kx–wt)=A[cos(kx–wt)+isin(kx–wt)]freeparticlewavefunction,Y(x,t)(Y不同於“物理波”,不必一定要是實數)Y=A,Y2=A2所有位置出現機率相同此複數形式波函數有“實數波”及“虛數波”兩個部分,此兩部份均具有明確及相同的波長及頻率:l=2

3、p/ku=w/2p因此所描述的粒子應該具有確定的動量及能量:p=h/lE=hu•對此複數形式波函數,還有另一個求算其動量及動能的方法•Y/x=ikAei(kx-wt)(/x:partialderivative,偏微分,withrespecttoxwithothervariablesfixed)-ihY/x=hkAei(kx-wt)=(h/2p)(2p/l)Y-ihY/x=pY-ih/xp(-ih/x:anoperator,運算子)•Y/t=-iwAei(kx-wt)(/t:partialderivative,偏微分,w

4、ithrespecttotwithothervariablesfixed)ihY/t=hwAei(kx-wt)=(h/2p)2puYihY/t=EYih/tE(ih/t:anoperator,運算子)Time-dependentSchrodingerEquation•totalenergyofaparticleE=K.E.+P.E.=½mv2+E=p2/2m+Epp利用(p-ih/x)及(Eih/t)(用猜的啦)EY=(p2/2m)Y+EpY1ihY/t=——(-ih——)(-ih——)Y+EY2mxxph

5、22YihY/t=–————+EY2m2pxh22YY–————+EY=ih——2mx2pt—one-dimensionaltime-dependentSchrodingerequ.•SchrodingerequationAfirstprinciple!(用猜的啦,猜對了嘛!)AsNewton’sLawofmotion,cannotbemathematicallyderived.ErwinSchrodinger(1887–1961)自由粒子(ForaFreeParticle)•E(x)=constantnoforceonthepart

6、iclepE(x)=constantF=0onaparticlepinwavemechanicsinparticlemechanicsconsiderEconsiderFp•選擇Ep=0h22YY–————=ih——2mx2tY=Aei(kx-wt)isthesolutionY=Aei(kx–wt)Y/x=/x[Aei(kx-wt)]=ikAei(kx-wt)2Y/x2=ik/x[Aei(kx-wt)]=-k2Aei(kx-wt)=-k2YY/t=/t[Aei(kx-wt)]=-iwAei(kx-wt)=-iwYh22Y

7、-————=ihY/t2mx2h2k2———Y=hwY2mh2k2———=hw2mY=Aei(kx–wt)aparticlewithdefinitep=hkandE=hwE=hw=p2/2m=(h2k2)/2m•Y=Aei(kx–wt)這樣一個波函數,它所代表的粒子在各點位置上出現的機率是多少?Y=amplitudeofthewaveY2(probabilitydensity,機率密度)粒子出現機率Y(x)2dx=在dx範圍內發現粒子出現的機率IfY(x,t)=Asin(kx–wt),Y2=A2IfY(x,t)=Aei(kx–

8、wt),Y(x,t)2=Y*Y(Y*:compl