量子力学中的近似方法

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1、第八章量子力学中的近似方法32第八章目录§8.1定态微扰论2（1）非简并能级的微扰论2（2）碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应11（3）简并能级的微扰论15(4)简并态可用非简并微扰处理的条件2532第八章量子力学中的近似方法(一)在量子力学中，能精确求解的问题为数是有限的，要么非常特殊，要么非常简单。我们在这章中，介绍一些常用的近似处理方法。也就是说，当将量子力学原理用于实际问题中，我们必须进行一些近似处理，才能得到所要的结果，才能将问题解决。§8.1定态微扰论本节讨论的是与无关设：，要求其本征值和本征函数一般没有解析解，为解决这

2、问题，我们将表示为其中很接近，且有解析解。而是小量，为易于表其大小的量级，无妨令（1）非简并能级的微扰论设：的本征值和本征函数为，构成一正交，归一完备组。现求解即求，的步骤是通过逐级逼近来求精确解，即将，对展开。由于涉及的项较小，因此，应接近，接近。所以，可以从，出发求，。当，即，，32非简并微扰论就是处理的那一条能级是非简并的（或即使有简并，但相应的简并态并不影响处理的结果）。我们可将求和号上的撇表示求和不包括态，即是与正交的。其中为归一化常数，它随准确到那一级而定。代入上式得于是有A.一级微扰近似。以标积以（）标积因此，在一级近

3、似下32(归一化准至一级)所以，在这条能级为非简并时，其能量的一级修正恰等于微扰在无微扰状态的平均值。例1：考虑一个粒子在位势准至一级修正的能量为a．微扰论的应用限度：如准到一级，可以看出，完全是分立能级.但事实上，当时，粒子是自由的，因此是连续的，可取任何值。而要其比较精确，必须即b．经典力学和量子力学的差别：经典粒子不能运动到32之外区域，而量子力学中，粒子有一定几率在区域中。事实上，由于，由定理可证得例2．已知一个在核（）库仑场中运动相应能量为当原子核发生衰变后，该在的库仑场中运动，这时的哈密顿量为试用微扰论求衰变后原子的能级

4、∵一级微扰论的能量修正即32()于是事实上，这问题是可以精确求解的近似解与精确解的差由此可见：①越大，微扰的精确性越大，到一级就很精确，所以低级近似就可以达到较精确的程度；②应该指出，现在处理的问题中，能级实际上是简并的（简并度为）。但仍用了非简并微扰论来处理，这是因为微扰作用的矩阵元也就是说，对于态，由于微扰的影响仅来自，而,的态根本不起作用，因而态（无论是否等于，只要,）这些态都形同虚设，那也是形同虚设。在这时，微扰可用非简并微扰处理。所以，所谓可用非简并微扰论处理的问题，是指我们要处理的态（现为）所在能级的其他态（现为，，）在

5、微扰中的任何一级都不起作用，即（若，）例3．求氦原子的哈密顿量设：32设的基态为即于是以方向为z方向由32准至一级的能量B．二级微扰：当微扰较大时，或一级微扰为零时，则二级微扰就变得重要了，由项得以进行标积得以进行标积得准至二级的能量和波函数32由准至二级的归一化波函数为显然，要使近似解逼近真实解，就要恰当选取，而且要求，这样取一级近似才可以满足精度要求。由微扰的能量二级修正公式可以看出，对于基态，即。所以，二级微扰是负的，使能级下降。例：刚体转子的斯塔克效应（Starkeffect）将体系置于外电场中，能级发生移动的现象称为Sta

6、rkeffect。设：转子的角动量为，电偶极矩为，当置于均匀外电场中（取电场方向为z）32显然（有重简并）由于而因此，运算到的本征态上，不改变其本征值所以，也是的本征态，本征值仍为。由递推关系而因此尽管每一条能级有重简并。但是，对某一态有相互作用的是那些同，但不同的能级。所以，如考虑未微扰的能级态为，则只需要在所有不同，但同的状态中来考虑。这样尽管能级是简并的，而就一个态而言，可看作“没有简并”的态，其他的态对它没有任何影响（在微扰下），从而可用非简并微扰论来处理。32由这可看出，简并部分解除（同不同的能量不同，但相同）和态仍简并，

7、即重简并条（不简并，而其他的为二重简并）。简并的解除，实际上是的对称性被破坏。如没有完全解除，那实际上对称性没有完全被破坏。（2）碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应在介绍简并微扰论前，我们应用非简并微扰论，讨论碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应。A．碱金属光谱的双线结构前面已定性给出，由于自旋－轨道耦合，导致能级分裂，现用微扰论来处理。碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用，价电子的哈密顿量为（）取，（若有解析解）32选力学量完全集则能量与无关。所以的本征值及径向是与无关。即，（对和是简并的）一级微

8、扰对一级微扰修正与有关前面已讨论过因此，这就能观测到的钠光谱的双线结构。B．反常塞曼效应：在较强磁场中(∽)32，原子光谱线分裂的现象（一般分为三条），称为正常塞曼效应。即使考虑自旋（而自旋－轨道耦合和项可忽），也同样（）。当磁场较弱