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1、第27卷第2期大学数学Vol.27,l.22011年4月COLLEGEMATHEMATICSApr.2011弦割法与Muller法收敛阶的新证明方法12杨敏,杨明波(1.新乡医学院计算机教研室,河南新乡453003;2.河南师范大学数学与信息科学学院,河南新乡453007)[摘要]弦割法、Muller法与牛顿法一样,都是求解非线性方程的著名算法之一.然而在目前众多优秀的数值分析教材或论著中,关于弦割法和Muller法收敛阶的证明过程都是比较复杂的,无一例外的都是借助于差分方程的求解.本文对这两个算法的收敛阶给出了一种新的简单、直接的证明方法
2、,达到了与牛顿法收敛阶证明方法的统一,同时还能够方便地求出它们的渐近误差常数.[关键词]非线性方程;牛顿法;弦割法;Muller法;渐近误差常数[中图分类号]O241.7[文献标识码]A[文章编号]1672-1454(2011)02-0107-041引言作为求解非线性方程最著名的常用迭代法,牛顿法、弦割法和Muller法一直是数值分析教材或论[1-4]著中重点介绍的算法,从它们各自的迭代公式f(xn)xn+1=xn-,(1)fc(xn)xn-xn-1xn+1=xn-f(xn),(2)f(xn)-f(xn-1)2f(xn)xn+1=xn-,(
3、3)2wn?wn-4f(xn)f(xn,xn-1,xn-2)(其中wn=f(xn,xn-1)+f(xn,xn-2)-f(xn-1,xn-2),且(3)式中根号前的符号应取为与wn同号)可以看出,具有二阶收敛性的牛顿法(1)每次迭代需要计算两个函数值f(xn),fc(xn);而具有1.618阶收敛性的弦割法(2)和具有1.839阶收敛性的Muller法(3)每次迭代只需计算一个函数值f(xn).因此若按文献[2]中给出的效能指数定义,弦割法和Muller法都优于牛顿法.更重要的是弦割法和Muller法还[5,6]是无导数方法.然而在迭代法的收
4、敛性分析中,大多数教材在证明弦割法与Muller法的收敛阶时,无一例外的都要借助于差分方程的求解,这对算法的理论学习、理解和掌握增加了难度.本文对弦割法和Muller法的收敛阶给出了一种新的证明方法,使得这两种迭代法收敛阶的证明也能像牛顿法那样简单和直接,从而使得这三种迭代法在收敛阶的证明方面达到了统一.2弦割法与Muller法收敛阶的新证明方法定理1设f(x)于其根A的邻域S(A,D)={x
5、x-A6、稿日期]2008-06-23[基金项目]河南省高等教育改革研究项目108大学数学第27卷(iii)d=MD<1,则对任意迭代初值x0,x1IS(A,D),由弦割法(2)产生的迭代序列xn超线性收敛于f(x)=0的根A,1+5其收敛阶p=,且2p-1xn+1-Afd(A)limp=.(4)ny]xn-A2fc(A)证由插值公式和弦割法的定义(2),有0=f(A)=f(x1)+f(x1,x0)(A-x1)+f(x1,x0,A)(A-x1)(A-x0),0=f(x1)+f(x1,x0)(x2-x1).两式相减,得f(x1,x0)(x2-A)=f(
7、x1,x0,A)(x1-A)(x0-A),从而有(1)fd(N)(1)(1)x2-A=(1)(x1-A)(x0-A),N,GIS(A,D).2fc(G)从上式即得x2-A[Mx1-Ax0-A.于是由条件(iii)推出x2IS(A,D).对x3,x4,,作完全类似的讨论得到xnIS(A,D),n=3,4,,,并且(n)fd(N)(n)(n)xn+1-A=(n)(xn-A)(xn-1-A),N,GIS(A,D)。(5)2fc(G)再由条件(ii)得到xn+1-A[Mxn-Axn-1-A.这表明弦割法超线性收敛,并且有x2-A[MDx1-A[dx
8、1-A,2x3-A[dx2-A[dx1-A.一般有nxn+1-A[dx1-A.故当ny]时,xn-Ay0,由此证明了迭代序列{xn}收敛于A.xn+1-A设弦割法的收敛阶为p(p>1),记limp=C(C为渐近误差常数),则由(5)式得ny]xn-A(n)xn+1-Afd(N)11-p+1pp=(n)#1#xn-A(6)xn-A2fc(G)xn-Appxn-1-A121+5显然欲使上式的极限为非零常数,则必有1-p+=0,即p-p-1=0.由于p>1,故p=.p2最后在(6)式两端取极限,有1pfd(A)1pfd(A)p+1C=#,即C=.
9、2fc(A)C2fc(A)p-12再由-(p-1)=(p-p-1)=0知(4)式成立.p+1p+1对于Muller法,若记Ln(x)为f(x)在xn,xn-1,xn-2上的二次插
