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1、第27卷第3期孝感学院学报VOL.27NO.32007年5月JOURNALOFXIAOGANUNIVERSITYMAY.2007弦截法的超线性收敛性验证邢进良(沙洋师范高等专科学校数理系,湖北荆门448200)摘要:弦截法的基本思想是利用函数值f(xk+1),f(xk)来回避导数值f(xk)的计算,本文利用最小二乘法验证了弦截法的迭代收敛阶数p=1.618,并增加了修正因子使验证结果更准确。同时,提出了该验证算法的实验步骤,通过一个特定方程根的求解实例,验证了其收敛阶数,并比较了牛顿法和弦截法的迭代收敛性能。关键词:弦截法;超线性收敛性;最小二乘法;修正因子中图
2、分类号:O241文献标识码:A文章编号:1671-2544(2007)03-0056-04其方程是1弦截法基本原理f(xk)-f(xk-1)y=f(xk)+(x-xk)设xk、xk+1是f(x)=0的近似根,我们利用fxk-xk-1(xk),f(xk+1)构造一次插值多项式p1(x),并用p1因此,按(2)式求得的xk+1实际上是弦线(x)=0的根作为f(x)=0的新的近似根xk+1,由PkPk-1与x轴交点横坐标,这种算法为弦截法。f(xk)-f(xk-1)于p1(x)=f(xk)+(x-xk)(1)2弦截法的超线性收敛性xk-xk-1因此有2.1迭代法收敛
3、速度定义f(xk)迭代过程x=(xk)收敛于方程x=(x)的xk+1=xk-(xk-xk-1)(2)*f(xk)-f(xk-1)根x,若迭代误差ek=xk+1-xk,当k!∀时成立,所以弦截法的几何意义为:ek+1满足limp!c(c#0且为常数)称该迭代过程曲线y=f(x)上横坐标为xk,xk-1的点分别记k!∀ek为Pk,Pk-1,则弦线PkPk-1的斜率等于差商值是p阶收敛的。f(xk)-f(xk-1)f(xk)-f(xk-1)特别地,当p=1时为线性收敛,p=2时为平,即f(xk),如图xk-xk-1xk-xk-1方收敛,p>1为超线性收敛。1所示。2.2定理*
4、*假设f(x)在根x的领域∃:x-x%内具有二阶连续导数,且对任意x&∃有f(x)#0,又初值x0,x1&∃,那么当领域∃充分小时,弦截法(2)将按阶1+5p=1.6182***收敛到根x。且xk+1-xf(x)/*p-1*pf(x)xk-x(3)图1收稿日期:2007-04-04作者简介:邢进良(1960-),男,河南淅川人,沙洋师范高等专科学校数理系副教授。∋56∋弦截法的超线性收敛性验证这里p是方程!2-!-1=0的正根。p-1p-1f(xk)f(xk-1)=(8)2.3弦截法超线性收敛性的验证方法f(xk)f(xk-
5、1)1)最小二乘法求超线性收敛阶数。若避免对f(x)求导数,可以用一阶差分来代ek+1替一阶导数,用二阶差分来代替二阶导数继续变若limp=C,(C为常数且C#0)k!∀ek形(7)式,得到:对上式两边取对数:e*p-1k+1f(x)limp*k!lim∀(lnek+1-plnek)kl!im∀(ln(xk+1-xk)-pln(xkk!∀ekf(x)p-1-xk-1))=lnCf[xk-1,xk,xk+1]=lim(9)令k!∀f[xk,xk+1]*X1=(X1,1,X1,2,(,X1,k)=(ln(x2-x1),ln其中,f(x)limf[xk-1,xk,xk+1]
6、k!∀(x3-x2),(,ln(xk+1-xk)),f(xk+1)-f(xx-1)f(xk)-f(xk-1)X2=(X2,1,X2,2,(,X2,k)=(ln(x1-x0),ln-xk+1-xx-1xk-xk-1=lim;(x2-x1),(,ln(xk-xk-1))k!∀xk+1-xx-1其中,k=1,2,(,C=lnC,*f(x)limf[xk,xk+1]k!∀那么,当k!∀时,则有X1-pX2=c(4)f(xk)-f(xk-1)要使)X1-pX2-c)!0=lim。k!∀xk-xk-1则求解参数p,c的目标函数为:*k计算(9)式,看满足xk-x<∃的xk是2mini
7、∗=1(X1,i-pX2,i-c)(5)否使(9)式为一个常数即可。由此,可以引入修k2正因子#,使得:令I(p,c)=∗(X1,i-pX2,i-c),使得i=1f(x)p-1f(x1)p-1∀I(p,c)-<#=0f(x)f(x1)∀p的p,c的估计值为:其中#=C%,%>0,C为常数。∀I(p,c)=0∀ckk3弦截法的算法步骤及实例2p^=∗(X2,i-X2)(X1,i-X1)/∗(X2,i-X2)i=1i=13.1算法步骤^c=X1-p^X2根据弦截法的基本
