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1、第27卷第l期甘肃联合大学学报(自然科学版)Vol.27No.l2013年1月JournalofGansuLianheUniversity(NaturalSeienees)Jan.2013文章编号:1672一69lX(2013)01一0031一03自然对数底的极限形式及其应用孙玉泉-,张有光211.北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学!信息与行为教育部重点实验室,北京1001912.北京航空航天大学电子信息与工程学院,北京1""191)摘要:通过自然对数底e的发展历史的阐述,说明了自然对数底e与其数列极限的关系,给出了极限标准形式在求解其它极限时的应用,最后通过两个应
2、用实例来说明标准极限形式的实用价值.关键词:高等数学教学;数列极限;自然对数底中图分类号:0172文献标识码:A数列极限是数学分析中的重要基础内容,大用.部分的数学分析教材都是以数列极限为基础来引表l人极限的概念,展开数学分析的内容.极限的概念1/212,1632,512不但抽象而且和初等数学的知识有较大差异,这一101,45,9给初学者带来很多的困难.在传统的教材中关于表1中的第一行是通项为20的等比数列,第二行数列具体应用的例题较少,这更增加了数列极限即为整数列.如果要计算16义32,根据运算法则的抽象程度.本文以传统教材中导出自然对数底raXxh一了/釉,e的数列极
3、限形式为例,首先说明自然对数底e由16对应4,32对应5,可知结果为9对应的项512.的发展历史过程,然后通过具体应用实例说明这这样计算乘法就变成了计算比乘法简单的加法.种极限形式的应用.让学生对问题知其然又知其使用这种方法的前提是预先编制便于查找和使所以然,提高他们的学习兴趣.用的对数表,表1就是一个以2为底的对数表.对数的产生以英国数学家纳皮尔的著作5奇妙的对数6和1自然对数的产生他编制的对数表的出版为标志川.由于对数的重要在一般的教学过程中,自然对数底e是通过应用价值,要求编制更加完善和准确的对数表.下面下面数列我们看一下以10为底的对数表的编制过程.表2以10为底
4、的对数表二0一(l+匀0以10为底的对数lgN对应的真数N的极限引人.使用单调有界定理即可得到该极限,0.000010"~1将其记为e,称为自然对数底.一般我们对此不再0001进行深人的解释,仅说明该数和二类似,是一个重10.2-)()10一.川-(份而0002要的常数,但教学中利用这个极限形式求解的习10叨-叫一艺)护丁丽题非常多1-,22.这个极限为什么称为自然对数底,..............曰这些例题又有什么用?如果不能很好的解答这些从表中可以看出,在精确到万分位时,就要面疑问,就会对初学者造成困惑,降低他们学习的兴临对10,100等开10000次方,这在当时是
5、非常困趣.首先我们看一下用该极限作为对数底的方便难的工作.但是如果将底数取为某个数的10""O之处.在16世纪,随着科学技术的发展,人们需要次方,则可避免这个困难.如以a一2.-训"为底,则计算非常大的数之间的乘除运算,而对数正是在计算变为如表3所示.这样一个背景下产生的.我们通过表1中的两个数列来体会一下对数在简化计算方面的重要作收稿日期:2012一10一27.作者简介:孙玉泉(1977一),男,山东安丘人,讲师,主要从事计算数学!高等数学教学与研究.第1期孙玉泉等:自然对数底的极限形式及其应用布.设可用的总功率为尸,,由著名的香农信道容等方面还可以对e进行更加深人的理
6、解和研究,量公式,得平均信道容量为:关于自然对数底e的应用还有很多15一72.现在我们强调对学生创新能力的培养,这些问题可以留C(尸~万_.Int_l十.只尸,二).1丫"月给学生进行进一步的探索和研究,是培养学生创从上式可以看出,同时增加带宽和发射功率,在新能力的重要素材.一定条件下可以使信道容量增加.在扩频通信中,如参考文献:C__U_八八_A_系统.!中,常米_用_这!样.!,的,,万!法_,.如.汪,又尸!,.石_固走_的,,了丫oD=1]陈纪修,赞崇华,金路.数学分析(上册)[M2.第2版,情况下,增加传输信号占用的频带,则可以扩大系统北京:高等教育出版社,20
7、04:1一5.容量.在卫星通信中,频谱资源非常丰富,而能量资[z]杨小远,孙玉泉,薛玉梅,等.工科数学分析教程(上源有限,只不可能无限增加.在只固定的情况下,是册)[M2.北京:科学出版社,2011:19一23.否可以通过增加带宽来增加容量呢?由13]陈仁政.不可思议的e[M].北京:科学出版社,2005:尸!"P卜88.1imC(P:)一直里-/L-十凡屯厄./一瓦刁五厄[42樊平毅.网络信息论7M2.北京:清华大学出版社,2009:33一35.知在功率受限的情况下,无限增加带宽带来的容量增加是有限的.这个极限就使用了上面给
