与自然对数的底e有关的问题

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1、与自然对数的底e有关的极限问题。题1:回忆自然对数的底＜?的定义，e:=lim0!=1。Z1V1+-、打/'II证明这翻定-HO注：在级数理论里，我们通常川记号（这个记号称作无労级数）来表示部分和I人人'=()+OO的极限（当然假设极限存在），即I人：=limE~。我们将在下个学期学习无穷级数理k=Q’H*00又.=04001论。木题的意思是’祕以用无穷级数来表示’即、=gFn1证明：记则么T严格。另一方而，容易看出序列｛/?,,｝有界。这是因为又=（）众！心2』此我们翻人=0k-2k~k2+1-丄＜3。根据单调侖界收敛定理可知序列｝收n敛。设么个我们再来考虑数olim"->+

2、ccZ1、W1+丄V1_L1经二项式展开，可以表示为+n)3!1--II1--1+...+1[1-1nAn)n!ln由此可知人＜么，从而有eSZ?。以下我们证明相反的不等式e＞/?。根据上述不等式（*）,我们不难看出，对于任意正整数A22和/?〉A，我们有Cln＞2H1H11+...H11o2!^n）3!V人nJkJJ于上述不等式中，令M4+OO立刻得到VA》2。再令々4+00就得到e＞/?。于是有＜?=/八结论得证。证毕。n1题2:^£n:=e-V一。证明lim6(n+l)!=1kZ?->+CO/f=on11注：这道题的姗，的误差大约是一。更具体的误差估计见

3、下题人=0证明：我们将利用Stolz定理(0/0型)证明lim6、,,(n+l)!=l。将么(/?+1)!写作6考虑分+与分母相继两项的差，以及所得差的商，我们就得到(/7+1)!(n+D!77+2/7+11,/7+00(t?+1)!(n+2)!(/?+2)!因此lim么(n+l)!=l。证毕.z^+oo题3:证明▲＜卜益＜士’…1。"1注：上述结论告诉我们，用和式来逼近数e非常有效，.rt估计误差很容易证明：第一个不等式妞然成立，因为+1$11色々!kfhik!(/?+1)!对于任意m〉/?,我们冇(/?+1)!(/?+2)!11+^!<(/7+1)!/7+2(7?+2)2(

4、/;+2广一"(n+l)!(n+1)nn+2即对于任意m〉/八我们有11177+214~+...+—<<(/?+1)!(/?+2)!/"!(/?+1)!(/?+1)n令m->+oo,我们得到1丄=E丄<念々！kfhik!("+1)!("+1)n所证不等式成立。证毕。题4:证明tl然对数的底是无理数证明：反证。假设数e是有理数，即e可表为e=p/q,其屮口，口均为正整数根据题1知，我们可以将数表为1A1_.p17=e=2^7?+Zn=Zt?+其巾〜：=t_£+，如题2所定义CJ女=（）八.1/-^丄b^（A.k'.k=q+lk!Qk于是，一方Ifif根裾等式

5、=

6、年完成的一项了不起的工作。另注：圆周率7T也是超越数（徳国数学家CarlLindemann丁•1882年证明）。这里老师叫同学们推游一本书，作者WilliamDunham（美），英文

7、5名：TheCalculusGallery,MasterpiecesfromNewtontoLebesgue.中译本译名《微积分的历程》，人民邮电出版社出版，2010。书中有一章节专门介绍代数数和超越数。这木书是学AI微积分课程不可多得的补充读物。位得拥杏。注2:在习题1.4题17（课木第19页）中，我们遇到了;W—个由极限式定义的常数//:=lim«0.577Z7->+00数/通常称作Euler-

8、Mascheroni常数。这是另一个秉要的数学常数，出现在数学的许多地方。相比较数e和数;T而言，我们对常数/的了解更少。例如，迄今为止，我们还不知道/是否为无理数，虽然许多数学家相信，/是个超越数。一般来说，证明某个数是超越数比证明它是无理数耍困难的多。如果哪位M学想将ft己的名字留永久地留在数学史册上，那么研究数/吋能是一个途径。注3:关于Riemann-Zeta函数在正整数点上的值n变数z通常取复数值。当jKQ1Riemann-Zeta函数f(z)由无穷级数定义f(z)—k