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《有关切比雪夫多项式的几个组合恒等式_朱伟义.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2005年3月重庆师范大学学报(自然科学版)Mar.2005第22卷第1期JournalofChongqingNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.22No.1＊有关切比雪夫多项式的几个组合恒等式朱伟义(浙江师范大学数理学院,浙江金华321004)摘要:利用母函数的方法,研究了第一类和第二类切比雪夫多项式,得到了切比雪夫多项式之间的有趣恒等式。并利用切比雪夫多项式和Fibonacci数、Lucas数的内在联系,得到了Fibonacci数和Lucas数之间的一些有趣的恒等式。关键词:第一类切比雪夫多项式;第二类切比雪夫多项式;
2、母函数;恒等式中图分类号:O156.4文献标识码:A文章编号:1672-6693(2005)01-0018-03SomeIdentitiesAboutChebyshevPolynomialsZHUWei-yi(CollegeofMathematicsandPhysics,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)Abstract:Inthispaper,wehavestudiedChebyshevPolynomialsofthefirstandsecondkind,andobtaintedsomeidentic
3、ale-quationaboutChebyshevPolynomialsofthefirstandsecondkind,thusgettingsomerelationsbetweentheFibonacciNumbersandtheLucasNumbers.Keywords:thefirstChebyshevPolynomials;thesecondChebyshevPolynomials;motherfunction;identities.而Fibonacci数列和Lucas数列由下面的二次线1引言与引理性递推公式给出。著名的第一类和第二类切比雪夫多项式Tn(x)Fn+
4、2=Fn+1+Fn,n≥0;Ln+2=Ln+1+Ln,n≥0。[1]和Un(x)定义为其中F0=0,F1=1;L0=2,L1=1。∞切比雪夫多项式和Fibonacci数、Lucas数有许1-xtn2=∑Tn(x)tx≤1,t≤11-2xt+tn=0多有趣的性质,一直是许多专家、学者研究的热点,∞[2～4]1n得到了很多有益的结果。张文鹏教授在文献2=∑Un(x)tx≤1,t≤11-2xt+tn=0[2]中研究了第一类和第二类切比雪夫多项式由文献[2]知第一类和第二类切比雪夫多项式Tn(x)和Un(x)的有关恒等式,得到了Tn(x)和Un(x)与著名的Fibonacci数列
5、和Lucas数k+11(k)列有非常密切的关系,即有下面的引理。a+a+…∑+a=ni∏=1Uai(x)=kUn+k(x)12k+12k!引理设Tk+1n(x)和Un(x)为第一、二类切比雪∑∏(ai+1)Ua(x)=a+a+…a=n+2k+2i=1i夫多项式,则有12k+1nk+1k+1inii1h(2k+1)Un=iFn+1,Tn=Ln2k+1∑(-1)Un+4k+3-2h(x)2(2k+1)!h=0h222nk+13n-3(-1)Un-=(-1)F2(n+1),Tn=L2n∑∏Tai(x)=222a1+a2+…ak+1=n+k+1i=1nnk+1k+1(-i)(-1
6、)1h(k)Un(-2i)=F3(n+1),Tn(-2i)=L3nk∑(-x)Un+2k+-h(x)222k!h=0h＊收稿日期:2004-10-26资助项目:浙江省重点学科和浙江省教育厅科研基金(NO.20040846)作者简介:朱伟义(1964-),男,浙江诸暨人,副教授,主要从事数论研究。第1期朱伟义:有关切比雪夫多项式的几个组合恒等式19n并由此得到了关于Fibonacci数、Lucas数的一系列iiLn,在定理1取x=时,即有22有趣的恒等式。n本文用母函数方法研究了T(x)和U(x)之间a1nnn∑CnFa+1Fn+1-a=(2Ln+2+2)a=05的关系,得
7、到了Tn(x)和Un(x)之间一些有趣的恒从而证明了结论1)。注意到等式;并利用Tn(x),Un(x)和Fibonacci数、Lucas数n3n-3(-1)之间的关系得到了Fibonacci数、Lucas数之间的恒Un-=(-1)F2(n+1),Tn=L2n222等关系式,即有下列的结论。nn(-i)(-1)Un(-2i)=F3(n+1),Tn(-2i)=L3n222定理推论及证明3在定理1中分别取x=-,-2i即可得结论定理1设Un(x)为第二类切比雪夫多项式,n22)、3)。证毕是大于或等于零的整数,则有nn-1定理2设T
