浅谈切比雪夫多项式1

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1、浅谈切比雪夫多项式数学与应用数学（师范）2008级石晓萌0807402049指导老师刘长剑摘要本文通过三角函数和复数方法得到切比雪夫多项式，对两类切比雪夫多项式的定义和性质做了全面而乂简练的概括和说明•除此Z外，木文也研究了两类切比雪夫多项式Z间的关系,并进-步讨论了切比雪夫多项式在处理实际问题的应用.关键词：切比雪夫多项式三角函数复数止交性最小偏羌插值DiscussiononthechebyshevpolynomialsMathematicsandAppliedMathematics(normalschool)ShiXiaomeng0807402049SupervisorLi

2、uChangjianAbstractThispaperthroughthetrianglefunctionandcomplexmethodobtainschebyshevpolynomialanddescribestwogroupsofchebyshevpolynomialofthedefinitionsandpropertiesindetail.Inaddition,thispaperalsostudiesrelationshipsbetweenthetwogroupsofchebyshevpolynomialandfurtherdiscussestheapplication

3、ofhechebyshevpolynomialindealingwithpracticalproblems.Keyword:chebyshevpolynomialtrigonometricfunctionPluralorthogonalityminimumdeviationinteipolation目录1问题的来源及起源11.1前言41.2切比雪夫多项式的来源42切比雪夫多项式的概念及性质82.1第一类切比雪夫多项式及性质82.2第二类切比雪夫多项式及性质103两类切比雪夫多项式的关系114切比雪夫多项式的应用134.1切比雪夫多项式插值134.2幕级数项数的节约14结束语15

4、参考文献161问题的来源及起源1.1刖言以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff,又译契贝雪夫等，1821—1894)的名字命名的重要的特殊函数第一类和第二类切比雪夫多项式7；(兀)和U“(Q(简称切比雪夫多项式)，源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理冇关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数，对于注入连续函数逼近问题，阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学屮的近似计算有着非常重要的作用[2].在大学的数学中，在数学分析的习题里提到过切比雪夫多项式，对于该多项式并未冇过多的了解.详细探讨了解切比雪夫多项式对即将毕业的我来说是一

5、件不可多得的再次学习机会，因此着手写这篇论文.本文追溯切比雪夫多项式的起源，从三角函数和复数两个方而导出切比雪夫多项式，研究两类切比雪夫多项式的性质、关系以及应用.1・2切比雪夫多项式的源来我们用以下儿种方法来求得切比雪夫多项式.方法一：余弦倍角公式是由余弦的幕整系数线性组合来表示倍角的余弦.这样就产生余弦的刃倍角能否用余弦的幕次的整系数线性组合表示等问题.通过研究，发现COS,"都是关于2COSQ的首项系数为1的、次数等于Q的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到COS/7ZZ的一些性质.应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题.进一步研究，发现此多项

6、式可以转化为切比雪夫多项式.在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦COS是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：cos2cr=2cos2a-I,(1)cos3q=4cos36z-3cos(7.(2)它们都是曲余弦COSQ的幕整系数线性组合来表倍角的余弦.这样就自然产生了余弦的〃倍角能否用余弦COSQ的幕次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得cos4cr=8cos4a-8cos2a+1,(3)cos5a=i6cos5a一20cos3a+5cosa.(4)观察公式(1-4),可以发现.如杲公式两端同乘以2,则公式右边都是关于2cos6z的首系数为1的、次数等于公式左边。的

7、倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式.由此猜测2COS/7ZZ也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明.猜想2cosna-工(-1)〃％(2cosq)"J",(nwZjnwN)(5)〃】=()显然，斤二1时猜想成立；由公式(1一4)知，〃W5时猜想成立(m>n/2时2nm=0).假定zzWkgAT且k>2)时猜想成立,下证n=k+l时猜想也成立•cos伙+l)a=coskacosa一sinkasinasinkasina=[sin@-l)asina+cos(£-1)asina]sina=si