切比雪夫多项式(下)

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1、母函数十二、切比雪夫多项式（下）我们用（126）具体算几个切比雪夫多项式：再往下算就越来越麻烦.其实我们可以利用它的母函数，推导出之间的递推关系，使计算变得较为简单.由于（127）-（128）+（129），得上式左边的分子显然为因而（130）可写为，即.因而的系数都必须为0，于是得计算的递推分式：（131）从这个公式计算就比较方便了.例如从，很容易算出从，又很容易算出：从递推公式（131）还很容易看出一个事实：所有切比雪夫多项式的最高次项的系数都是1.但要从切比雪夫多项式的表达式（126）来作出这一结论并不太简单.切比雪夫多项式有许多有趣的性

2、质，这里只讨论其中较为重要的一个.为了说清楚这一重要性质，要引进几个新概念.我们把满足不等式的实数x的全体称为一个闭区间，记为[a，b].例如表示满足不等式的实数x的全体，[-1，1]表示满足不等式的实数x的全体.把所有首项系数为1的n次多项式的全体记为，那么对于任意实数，都是中的多项式.我们用∈表示是中的多项式.例如，则.由于是首项系数为1的n次多项式，所以∈.设是定义在[a，b]上的任一函数，当t由a变到b时，也跟着变化，设的最大值是M，我们把它记为，上式可改写为.因此也称M为函数与0在区间[a，b]上的偏差.现在设是中任一多项式，与0在

3、[-1，1]上的偏差设为，即.显然，是随着多项式的不同而变化的一个正数，即对于不同的，它与0的偏差也是不同的.我们问，中哪一个多项式与0的偏差最小？下面将要证明，这个与0偏差最小的多项式就是用切比雪夫多项式.定理15在最高次项系数为1的所有n次多项式中，在闭区间[-1，1]上与0有最小偏差的多项式是切比雪夫多项式.证明我们先研究一下，在[-1，1]上与0的偏差等于什么，令那么取，则有，这时，于是因而另一方面，对于[-1，1]中所有t，都有所以，即在[-1，1]上与0的偏差是.如果存在，而且它与0的偏差比与0的偏差更小，即，我们要由此推出矛盾.

4、事实上，由于，而，所以与的符号是一致的.由（132）知道，中的任何相邻两项都是异号的，因而的任何相邻两项也是异号的.如果记，那么的任何相邻两项是异号的.由于当t从变到时，是连续变化的，既然异号，那么或者由正的变到负的，或者由负的变到正的，不论何者发生，在由负到正或由正到负，中间必须经过零值，即在中必有，使；同样道理，在中必有，使，…，在中有，使.换句话说，我们找到了代数方程式的n个不同的根：.再来看一下是多少次的代数方程式.由于都是首项系数为1的n次多项式，因而便是次多项式，它不可能有n个不同的根，这是矛盾.这个矛盾的得来是因为我们假定了存在

5、与0的偏差比与0的偏差更小的，从而证明了是中与0偏差最小的多项式.证毕.从这个定理马上得到下在的推论：对于任意最高次项系数为1的n次多项式，必有.例如，当n=3时，我们便有这样的结论：对于任意的，必有.要直接证明这样的结果并不是很容易的.