余弦倍角公式和切比雪夫多项式.pdf

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1、第25卷第4期阜阳师范学院学报(自然科学版)Vo1．25。No．42008年12月JournalofFuyangTeachersCollege(NaturalScience)DeC．2008余弦倍角公式和切比雪夫多项式王君丽(台州科技职业学院数学教研室，浙江台州318020)摘要：在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具．余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦，这样就产生余弦的倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题，通过研究，发现COSa都是关于2cos的首项系数为1的、次数等于的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到COSn~的一

2、些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式，这一多项式及系数有一些有趣的性质．关键词：倍角；余弦公式；多项式；系数；组合中图分类号：O124．1；O174文献标识码：A文章编号：1004—4329(2008)04—0021—03在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工因COS(是+1)=COSkacos口一sinkasin口，具，余弦cosa是众所周知的偶函数，它的倍角公式而sinkasin口=[sin(愚一1)acos口+如：COS(是一1)asina]sin口=COS2a一2cos。d一1(1)sin(

3、是一1)asinaCOS口+COS(忌一1)asin。a—COS3a=4cos。d一3cosa(2)COS(一1)acos口一COSka]cos口+它们都是由余弦COS的幂整系数线性组合来COS(愚一1)口(1一COS。口)=表倍角的余弦。这样就自然产生了余弦的n倍角能一COSkacosd+COS(志一1)a，否用余弦cosa的幂次的整系数线性组合表示问题，故COS(志+1)口一2coskacos口一COS(是一1)口，稍作计算可以得从而2cos(+1)口=COS4a=8cos口一8cos0口+1(3)2coska·2cos口一2cos(七一1)口=COS5a一16cos

4、d一20cos。a+5cos口(4)∑(一1)．(2cos口)卜·2cos口一，，l=0观察公式(1—4)，可以发现，如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cosa的首系数为1，∑”一0(一1)_1．(2cos口)卜卜=的、次数等于公式左边a的倍数的、系数符号正负相∑(一1)，(2cos口)+卅；0间的整系数多项式．由此猜测2cos扎a也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．辨∑=1(一1)-lI(2cosa)¨卜。=猜想Gk,O(2cos口)⋯+∑(一1)．2cos口一(一1)m口(2cos口)m，；_0(口t．，I+一1．一1)(2cos口)+一。m，(n∈N；

5、m∈Ⅳ)(5)记+l。=．+一1，，显然，n=1时猜想成立；由公式(1—4)知，≤5时就有猜想成立(>n／z时2。三0)．2cos(五+1)口一现假定，z≤足(五∈N+且是>2)时猜想成立，下∑(一1)ak+l，(2cos口)件卜。证当一k+1时猜想也成立．m=0收稿日期：2008—11—07基金项目：浙江省教育厅科研项目(20071078)资助．作者简介：王君丽(1972一)，女，学士，高级讲师．研究方向：函数22阜阳师范学院学报(自然科学版)第25卷即当n—k+1时猜想也成立．从而对任意正整性质5对素数户，当m≥l时，PJaM．数猜想成立．利用公式(9)还可以解决许多

6、问题，如可以证明以上不仅证明了(5)式对任意正整数成立，而COS(m／n)Tr(n∈N+，m∈Ⅳ)是代数数，以及许多且得到了(5)式中系数．的递推公式：三角恒等式如l，0—1，，o一1，1=2，，(2cos口)计=2∑C2％+1cos(2n一2m+1)a，+1．o一口o肼：o．(≥2)，(6)d+1==d．．+口一1，一l(，z≥2，1≤≤m≤n／2)．(2cosa)=2∑C~cos(2n一2m)a+c等．(7)其实利用余弦的和差化积公式COS(n+1)a—由此易得COS(——1)a：2cos口·COSa就可得，fI，当l,n一0；1COS(超+1)：2cos口cos”～

7、COS(”一1)a，一．{c⋯当1≤≤”／2；(8)因此，两边乘以2，用前述记号，可以得到前面表(o，当7，2>n／2．达式．另一方面，从这个依次递推公式COSa=：=2cos上式可由数学归纳法证明．从而(5)式可改写为：aCOS(一1)口一COS(一2)a也立即可以得到ent／2，2=2COS2a=2cos。d一1，2cos”一(2cosd)+(一1)．：3COS3a=2cosaCOS2a—COS口7Z。m12cosa(2cos口一1)～COS口=～1(2c。sd)m．(9)4cos。fl,一3cos．(9)式称为n倍角余弦