利用极坐标计算二重积分的方法和技巧_袁荣.pdf

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1、解题技巧与方法60JIETIJIQIAOYUFANGFA利用极坐标计算二重积分的方法和技巧利用极坐标计算二重积分的方法和技巧◎袁荣(广州大学数学与信息科学系510006)【摘要】利用极坐标计算二重积分是高等数学的重点，βr2(θ)=∫dθ∫f(rcosθ，rsinθ)rdr．αr1(θ)也是难点．本文总结了利用极坐标计算二重积分的条件和在教学中发现，不少学生不懂如何将D在极坐标系下一般步骤，着重介绍了如何写出积分区域D在极坐标系下的不等式组表示写出，这是造成二重积分困难和错误的最的不等式组表示的方法和技巧．大原因．

2、【关键词】二重积分;极坐标;积分区域1．极点在积分区域D外或极点在积分区域D内【中图分类号】O172D的极坐标表示的不等式组一般较容易写出，一般为α≤θ≤β，计算二重积分的一般方法是先选择适当的坐标系，然D:{r1(θ)≤r≤r2(θ)．则后利用所选择的坐标系将二重积分化为累次积分，最后通βr2(θ)过计算单积分求得二重积分;而化为累次积分的难点是积f(x，y)dxdy=∫dθ∫f(rcosθ，rsinθ)rdr．αr1(θ)D分上下限的确定．本文就极坐标系下的二重积分的计算谈2．极点在积分区域D的边界上一点体会

3、．极点在积分区域D的边界上时，不少学生误以为0≤一、选用极坐标计算的条件θ≤β，比如下面的例1．通常的情形是以直角坐标给出需要计算的二重积分，那么何时选用极坐标系来计算二重积分呢?一般来说，积例1设二重积分I=f(x，y)dxdy，其中积分区域DD分区域的边界曲线用极坐标方程表示比较简单的时候(如2是由曲线y=x+x与直线y=槡3x所围成的有界闭区域，将积分区域是圆盘、圆环、扇形，或为由心形线、双纽线等围成二重积分I化为极坐标形式的二次积分．等)，或者被积函数用极坐标表示比较简单的时候(如被积解积分区域D如图1阴

4、影部22yx函数是f(x+y)，f(x)或f(y)的形式等)，可以考虑选分:此题容易出错的是θ的范围，常错π用极坐标．误的以为0≤θ≤，其实因为x轴在3二、写出极坐标系下积分区域D的不等式组表示2坐标原点与曲线y=x+x和直线y=在采用极坐标计算二重积分时，通常都将它化为先对槡3x都不相切，所以θ≠0．易知曲线r、后对θ的累次积分，并且按极点O在积分区域之外、在积图12y=x+x上点的幅角范围就是θ的取分区域的边界上与在积分区域之内三种不同的情形来确定2值范围，因此在曲线y=x+x上任取一点P(x，y)，令tanθ

5、=对θ积分的积分上下限与对r积分的积分上下限，即将D在y2极坐标下表示的不等式组写出来．具体步骤一般如下:，而y=x+x，0≤x≤槡3－1．x(1)先根据题设条件画出积分区域D的草图;2yx+x所以tanθ===1+x，从而1≤tanθ=1+x≤(2)以坐标原点O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，xx然后从O出发引射线穿过积分区域D，且射线与D的边界ππ槡3，即≤θ≤．43最多两个交点(部分边界与射线重合的除外，否则将D分π(tanθ－1)secθ块)，确定θ∈［α，β］;f(x，y)dxdy=3dθf(ρcosθ，

6、ρsinθ)ρdρ．∫π∫0(3)取定θ∈［α，β］，D中幅角为θ的点的极半径r从D4此题求幅角θ的取值范围的方法具有一般性，也是写r1(θ)变到r2(θ)，于是出积分区域D在极坐标系下的不等式组表示的常用方法和α≤θ≤β，D的极坐标表示的不等式组可写为D:{r1(θ)≤r≤r2(θ)．技巧．22例2求积分区域D={(x，y)

7、x+y≤2x}在极坐标则f(x，y)dxdy=f(rcosθ，rsinθ)rdrdθDD系下幅角θ的取值范围．数学学习与研究2012.1解题技巧与方法JIETIJIQIAOYUFANG

8、FA61解因为积分区域D如图2阴影部分:π0≤θ≤，D:{20≤r≤1．π1y22rsinθ则xedxdy=∫cosθdθ∫redr，00D12rsinθ由于∫redr不易算出，因此考虑交换积分次序．0图21π1π22xeydxdy=dr2r2ersinθcosθdr=rdr[ersinθ]2=因为极点在积分区域D的边界上，且曲线x+y=2x故∫∫∫0000D22上点的幅角范围就是θ的取值范围，因此在曲线x+y=2x1r1y∫r(e－1)dr=．202上任取一点P(x，y)，令tanθ=，而y=±槡2x－x，0

9、x通过上述例题可以看出利用极坐标计算二重积分的方≤x≤2．法和技巧还是很强的，为了学好二重积分的计算，需要掌握2所以tanθ=y=±槡2x－x=±2－1，一定的方法和技巧．xx槡xππ从而－∞≤tanθ≤+∞，即－≤θ≤．【参考文献】22［1］曹广福等编．高等数学(二)［M］．北京:高等教育三、灵活选择积分次序利用极坐标计算二重积分时，一般选择先对r积分后对