二重积分的计算方法利用极坐标计算

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1、第二节二重积分的计算方法第八章(CalculationofDoubleIntegral)一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结与思考练习9/25/20211解法:类似定积分解决问题的思想:复习.求曲顶柱体的体积I给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”记作记作9/25/20212复习：直角坐标系情形:若积分区域为则若积分区域为则9/25/20213其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对

2、y积分,及直线则例1计算9/25/20214一、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线=常数,分划区域D为9/25/20215即则设9/25/202169/25/20217其中D为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.例3.计算9/25/20218特别地,对若f≡1则可求得D的面积9/25/20219思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)9/25/202110其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,

3、故本题无法用直角由于故坐标计算.例4计算9/25/202111利用例4可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例6的结果,得①故①式成立.注:9/25/202112被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知例5求球体9/25/202113内容小结直角坐标系情形:若积分区域为则若积分区域为则9/25/202114则极坐标系情形:若积分区域为9/25/202115课外练习习题8－2第二次作业7（1）（2）(4)；8；11;12(选做)9/25/202116