【中考数学必备专题】类比探究之阅读理解(含答案)[1].doc

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1、【中考数学必备专题】类比探究之阅读理解一、探究题(共2道，每道50分)1.（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN． 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）

2、 （2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由． （3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明） 答案：（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB-

3、AE=BC-MC=BM，∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．∵N是∠DCP的平分线上一点，∴∠DCN=45°，∴∠MCN=135°．在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN．（2）结论AM=MN还成立证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，∴∠BEM=60°，∴∠AEM=12

4、0°．∵N是∠ACP的平分线上一点，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120．在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN．（3）解：若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，则当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．解题思路：（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边相等得出AM=MN． （2）同（1），要证明

5、AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边相等得出AM=MN． （3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多边形的一个内角即等于时，结论AM=MN仍然成立．试题难度：三颗星知识点：正方形的性质 2.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流． 原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠AD

6、B=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系． 小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解． 小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°． 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况． 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题： （1）写出原问题中DF与EF的数量关系； （2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否

7、发生变化？请写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明． 答案：（1）DF=EF．（2）猜想：DF=FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90°．∵DA=DB，∠ADB=60°．∴AG=BG，△DBA是等边三角形．∴DB=BA．∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=BG．∴△DBG≌△BAC．∴DG=BC．∵BE=EC，∠BEC=60°，∴△EBC是等边三角形．∴BC=BE，∠CB

8、E=60°．∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，∴△DFG≌△EFB．∴DF=EF．（3）猜想：DF=FE．证明：过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB=90°．∵DA=DB，∴AH=BH，∠1=∠HDB．∵∠ACB=90°，∴HC