数学模型与数学建模5.1-线性规划课件.ppt

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1、数学模型安徽大学数学科学学院第5章数学规划模型5.1线性规划5.2非线性规划5.3整数规划5.4多目标规划5.1线性规划5.1.1线性规划问题的数学模型及其标准形式例5.1.1某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品,已知生产单位产品所需设备台时及对甲、乙两种原材料的消耗,有关数据如表5.1.1。问:应如何安排生产计划,使工厂获利最大?表5.1.1资源配置问题的数据解设为生产A、B两种产品的数量,则由表5.1.1知利润函数为。同时所需设备台时和对甲、乙两种原料的消耗分别不超过8台时、16公斤和12公斤,因此建立

2、线性规划问题的数学模型为:(5.1.1)例5.1.2某公司饲养实验用的动物以供出售,已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分(蛋白质、矿物质和维生素)特别敏感,每个动物每周至少需要蛋白质60g,矿物质3g,维生素8mg,该公司能买到5种不同的饲料,每种饲料1kg所含各种营养成分和成本如表5.1.2所示,求既能满足动物生长需要,又使总成本最低的饲料配方。表5.1.2饲料营养成分表解设分别表示每周每个动物需要饲料、、、、的数量,则成本函数为。根据营养的需求,要求蛋白质、矿物质和维生素分别不低于60g、3g和8mg,因

3、此,可建立如下的数学模型:(5.1.2)通过以上两个举例可以看出,上述问题的数学模型主要包括以下三个基本要素:(1)决策变量:问题中有待确定的未知变量;(2)约束条件:问题的一些资源等限制条件,且用决策变量的一线性等式或线性不等式来表达;(3)目标函数:问题的目标,按问题的要求,求其最大值或最小值,并用决策变量的线性函数来表达;若建立的数学模型的目标函数是决策变量的线性函数、约束条件是决策变量的线性等式或线性不等式,则称此数学模型为线性规划(LinearProgramming,简记为LP)模型。一般地,线性规划

4、问题的数学模型具有形式:(5.1.3)从(5.1.3)式可以看出,线性规划问题的目标函数有的是求最大值,有的是求最小值;约束条件有的是等式约束,有的是不等式约束,因此有必要给出线性规划问题的标准形式。线性规划问题的标准形满足:(1)求目标函数的最大值;(2)所有约束条件都是等式约束,且约束条件右端的常数项满足非负性;(3)所有变量均为非负限制。则LP问题的标准形可表示为:(5.1.4)如果所给的线性规划问题不符合标准形的要求,可从以下几个方面将其适当变换化成标准形:(1)目标函数最小值化为求最大值:若求,令,则

5、有。(2)不等式约束化为等式约束:若约束条件为,引进非负松弛变量,则有:若约束条件为,增加非负剩余变量,则有:(3)决策变量无非负限制化为非负限制:若变量无非负限制,引进,则有:且。(4)若某个约束条件右端的常数项小于零,则用()乘以该式两端即可。若令则可将线性规划问题(5.1.4)表示成矩阵形式:(5.1.5)我们称满足约束条件{且}的为线性规划问题的可行解;使目标函数取到最大值的可行解称为线性规划问题的最优解。5.1.2线性规划问题的LINGO软件和MATLAB软件求解例5.1.3用LINGO求解例5.1.

6、1。解例5.1.1建立的线性规划数学模型见(5.1.1)。在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型:model:max=2*x1+3*x2;x1+2*x2<=8;4*x1<=16;4*x2<=12;end求解结果如下:运行5步找到全局最优解,目标函数值为14,变量值分别为。“ReducedCost”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数(最优解中取值非零的决策变量的ReducedCost值等于零)。“Row”是输入模型中的行号,目标函数是第一行;“SlackorSurplus”的意思是松弛或剩余,即约束条件左

7、边与右边的差值,对于“”的不等式,右边减左边的差值为Slack(松弛),对于“”的不等式,左边减的右边差值为Surplus(剩余),当约束条件两边相等时,松弛或剩余的值等于零。“DualPrice”的意思是对偶价格,上述报告中Row2的松弛值为0,表明生产甲产品4单位、乙产品2单位,所需设备8台时已经饱和,对偶价格5.1的含义是:如果设备增加1台时,能使目标函数值增加5.1。报告中Row4的松弛值为4,表明生产甲产品4单位、乙产品2单位,所需原材料乙8公斤还剩余4公斤,因此增加原材料乙不会使目标函数值增加,所以

8、对偶价格为0。例5.1.4用LINGO求解例5.1.2配料问题。解例5.1.2配料问题的数学模型为(5.1.2),在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型:Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3;0.05

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